Question

已知AC，BD為圓O：x²+y²=4的兩條相互垂直的弦，垂足為M(1，

2

)，求四邊形ABCD的面積的最大值．

Answer 1

分析：設d₁，d₂分別是O到AC，BD的距離，則d12+d22=12+(

2

)2=3，化簡S_四邊形=S_△CAD+S_△CAB=

1

2

•AC•BD
為2

4+(d1d2)2

，再利用基本不等式求得它的最大值．

解答：解：設d₁，d₂分別是O到AC，BD的距離，則d12+d22=12+(

2

)2=3，
故S_四邊形=S_△CAD+S_△CAB=

1

2

•AC•BD=

1

2

•2

22-d12

•2

22-d22

=2

(4-d12)(4-d22)

=2

16-4(d12+d22)+(d1d2)2

=2

4+(d1d2)2

≤2

4+( d12+d22 2 )2

=2

4+( 3 2 )2

=5，
當且僅當d₁=d₂時上式取等號，即d₁=d₂=

6

2

時上式取等號．
故四邊形ABCD的面積的最大值為 5．

點評：本題主要考查直線和圓相交的性質(zhì)，弦長公式、基本不等式的應用，屬于中檔題．