Question

已知直線x+y+1=0與曲線C：y=x³-3px²相交于點A，B，且曲線C在A，B處的切線平行，則實數(shù)p的值為

 

．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)出A，B點的坐標(biāo)，得到函數(shù)在A，B點處的導(dǎo)數(shù)值，由A，B點處的導(dǎo)數(shù)值相等得到3x12-6px1=3x22-6px2=m，把x₁，x₂看作方程3x²-6px-m=0的兩個根，利用根與系數(shù)關(guān)系得到x₁+x₂=2p，進一步得到AB的中點坐標(biāo)，然后再證明AB的中點在曲線C上，最后由AB中點的縱坐標(biāo)相等求得實數(shù)p的值．

解答： 解：由y=x³-3px²，得y′=3x²-6px，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則曲線C在A，B處的切線的斜率分別為3x12-6px1，3x22-6px2，
∵曲線C在A，B處的切線平行，
∴3x12-6px1=3x22-6px2，
令3x12-6px1=3x22-6px2=m，
∴x₁，x₂是方程3x²-6px-m=0的兩個根，
則x₁+x₂=2p，
下面證線段AB的中點在曲線C上，
∵

x13-3px12+x23-3px22

2

=

(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2]-3p[(x1+x2)2-2x1x2]

2

=

8p3-12p3

2

=-2p3，
而(

x1+x2

2

)3-3p(

x1+x2

2

)2=(

2p

2

)3-3p(

2p

2

)2=-2p³，
∴線段AB的中點在曲線C上，
由x₁+x₂=2p，知線段的中點為（p，-p-1），
∴-p-1=p³-3p•p²=-2p³，解得p=1．
故答案為：1．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點的切線方程，求解該題的主線是利用AB中點的坐標(biāo)相等，關(guān)鍵是證明AB的中點在曲線C上，是中檔題．