Question

【題目】已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，過(guò)這兩點(diǎn)分別作拋物線(xiàn)的切線(xiàn)，且這兩條切線(xiàn)相交于點(diǎn).

（1）若的坐標(biāo)為，求的值；

（2）設(shè)線(xiàn)段的中點(diǎn)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，過(guò)的直線(xiàn)與線(xiàn)段為直徑的圓相切，切點(diǎn)為，且直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為可得，從而得到拋物線(xiàn)的方程，然后設(shè)出切線(xiàn)切線(xiàn)的方程為，由求得，由切點(diǎn)在拋物線(xiàn)上可得到，即為所求。（2）由（1）得到以線(xiàn)段為直徑的圓為圓。由題意只需考慮斜率為正數(shù)的直線(xiàn)即可，根據(jù)幾何知識(shí)得，故的方程為，由弦長(zhǎng)公式可得，又，所以，最后根據(jù)可得。

試題解析：

（1）由拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為，得，

則拋物線(xiàn)的方程為.

設(shè)切線(xiàn)的方程為，代入得，

由得，

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，

則，

當(dāng)時(shí)，同理可得.

綜上得。

（2）由（1）知， ，

所以以線(xiàn)段為直徑的圓為圓，

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，只要探討斜率為正數(shù)的直線(xiàn)即可，

因?yàn)?/span>為直線(xiàn)與圓的切點(diǎn)，

所以， ，

所以，

所以，

所以直線(xiàn)的方程為，

由消去整理得，

因?yàn)橹本�(xiàn)與圓相交，所以。

設(shè)，則，

所以，

所以，

設(shè)，因?yàn)?/span>，所以，

所以，

所以.