Question

已知拋物線C：y=-x²+6，點P（2，4）、A、B在拋物線上，且直線PA、PB的傾斜角互補．
（1）證明：直線AB的斜率為定值．（2）當(dāng)直線AB在y軸上的截距為正數(shù)時，求△PAB面積的最大值及此時直線AB的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出A、B坐標(biāo)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出A、B橫坐標(biāo)之差，縱坐標(biāo)之差，從而求出AB斜率．
（2）設(shè)出AB直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，運用根與系數(shù)的關(guān)系求AB長度，計算P到AB的距離，計算△PAB面積，
使用基本不等式求最大值．
解答：解：（Ⅰ）證：易知點P在拋物線C上，設(shè)PA的斜率為k，則直線PA的方程是y-4=k（x-2）．
代入y=-x²+6并整理得x²+2kx-4（k+1）=0此時方程應(yīng)有根x_A及2，
由韋達(dá)定理得：
2x_A=-4（k+1），∴x_A=-2（k+1）．∴y_A=k（x_A-2）+4．=-k²-4k+4．∴A（-2（k+1），-k²-4k+4）．
由于PA與PB的傾斜角互補，故PB的斜率為-k．
同理可得B（-2（-k+1），-k²+4k+4）
∴k_AB=2．
（Ⅱ）∵AB的方程為y=2x+b，b＞0．代入方程y=-x²+6消去y得x²+2x+b-6=0．
|AB|=2．
∴S=|AB|d=•2．
此時方程為y=2x+．
點評：本小題主要考查直線、拋物線等基本知識，考查運用解析幾何的方法分析問題和解決問題的能力．