Question

平面直角坐標(biāo)系中，過橢圓右焦點的直線交于兩點，為的中點，且的斜率為.

（Ⅰ）求的方程；

（Ⅱ）為上的兩點，若四邊形的對角線，求四邊形ACBD面積的最大值.

Answer 1

 解  （Ⅰ）設(shè)A (x ₁, y ₁) ，B (x ₂, y ₂)，P (x ₀, y ₀)

⇒⇒ =  ⇒ k_AB = 

OP的斜率為 ⇒ = 2，直線x + y = 0的斜率為1 ⇒ k_AB =1

⇒1= ⇒ a² = 2b²  ……①

由題意知直線x + y = 0與x軸的交點F(，0)是橢圓的右焦點，則才c =

⇒a² b² = 3  ……②

聯(lián)立解得①、②解得a² = 6，b² = 3

所以M的方程為：+ = 1

（Ⅱ）聯(lián)立方程組，解得A(,  )、B(0, )，求得| AB | =

依題意可設(shè)直線CD的方程為：y = x + m

CD與線段AB相交⇒ < m <

聯(lián)立方程組 消去x得：3_{x 2} + 4m_x +2m²  6 = 0 …… (_*)

設(shè)C (x ₃, y ₃)，D (x ₄, y ₄)，則| CD |² = 2(x _{3 } x ₄)² = 2[(x _{3 +} x ₄)² 4x ₃x _{4]= (9}  m²₎

四邊形ACBD的面積S = | AB |• | CD | =

_{當(dāng)n = 0時，}S最大，最大值為_.

_所以四邊形ACBD的面積最大值為_.