Question

如圖，已知ABCD－A₁B₁C₁D₁是棱長為a的正方體，E、F分別為棱AA₁與CC₁的中點，求四棱錐的A₁－EBFD₁的體積.

 

Answer 1

答案：
解析：

法一：∵ EB=BF=FD1=D1E==a， ∴ 四棱錐A1－EBFD1的底面是菱形. 連結A1C1、EF、BD1，則A1C1∥EF. 根據直線和平面平行的判定定理，A1C1平行于 A1－EBFD1的底面，從而A1C1到底面EBFD1的距離就是A1－EBFD1的高 設G、H分別是A1C1、EF的中點，連結D1G、GH，則 FH⊥HG， FH⊥HD1 根據直線和平面垂直的判定定理，有 FH⊥平面HGD1， 又，四棱錐A1－EBFD1的底面過FH，根據兩平面垂直的判定定理，有 A1－EBFD1的底面⊥平面HGD1. 作GK⊥HD1于K，根據兩平面垂直的性質定理，有 GK垂直于A1－EBFD1的底面. ∵ 正方體的對角面AA1CC1垂直于底面A1B1C1D1,∴ ∠HGD1=90º. 在Rt△HGD1內，GD1=a，HG=a，HD1==a. ∴ a·GK=a·a，從而GK=a. ∴ =·GK =··EF·BD1·GK =·a·a·a=a3 解法二 ∵ EB=BF=FD1=D1E==a， ∴ 四菱錐A1－EBFD1的底面是菱形. 連結EF，則△EFB≌△EFD1. ∵ 三棱錐A1－EFB與三棱錐A1－EFD1等底同高， ∴ . ∴ . 又 ， ∴ ， ∵ CC1∥平面ABB1A1， ∴ 三棱錐F－EBA1的高就是CC1到平面ABB1A1的距離，即棱長a. 又 △EBA1邊EA1上的高為a. ∴ =2···a=a3.