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18.已知函數(shù)f(x)=asinx+bcosx滿足f(x+\frac{2π}{3})=f(-x)對(duì)x∈R恒成立,則要得到g(x)=2sin2x的圖象,只需把f(x)的圖象(  )
A.向右平移\frac{π}{6},橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的\frac{1}{2}
B.向右平移\frac{π}{6},橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍
C.向右平移\frac{π}{3},橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的\frac{1}{2}
D.向右平移\frac{π}{3},橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍

分析 由題意根據(jù)正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性,求得a的值,可得f(x)=2sin(x+\frac{π}{6}),再利用函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律,得出結(jié)論.

解答 解:∵函數(shù)f(x)=asinx+bcosx滿足f(x+\frac{2π}{3})=f(-x)對(duì)x∈R恒成立,∴函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=\frac{π}{3}對(duì)稱,
∴f(0)=f(\frac{2π}{3}) 即 b=\frac{\sqrt{3}}{2}a-\frac{1}{2}b,求得b=\frac{\sqrt{3}}{3}a,f(x)=asinx+\frac{\sqrt{3}}{3}a•cosx.
根據(jù)題意,2=\sqrt{{a}^{2}+\frac{{a}^{2}}{3}},故可取 a=\sqrt{3},f(x)=\sqrt{3}sinx+cosx=2sin(x+\frac{π}{6}).
則要得到g(x)=2sin2x的圖象,只需把f(x)的圖象向右平移\frac{π}{6},橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的\frac{1}{2} 即可,
故選:A.

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性,函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律,屬于中檔題.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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\overline{x}\overline{y}\overline{w}\sum_{i=1}^{8}(xi-\overline{x}2\sum_{i=1}^{8}(wi-\overline{w}2\sum_{i=1}^{8}(xi-\overline{x})(yi-\overline{y}\sum_{i=1}^{8}(wi-\overline{w})(yi-\overline{y}
46.656.36.8289.81.61469108.8
表中wi=\sqrt{{x}_{i}},\overline{w}=\frac{1}{8}\sum_{i=1}^{8}wi
(I)根據(jù)表中數(shù)據(jù),求回歸方程y=c+d\sqrt{x};
(II)已知這種產(chǎn)品的年利潤(rùn)z與x,y的關(guān)系為z=0.2y-x,根據(jù)( II)的結(jié)果回答下列問(wèn)題:
(i)當(dāng)年宣傳費(fèi)x=90時(shí),年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值時(shí)多少?
(ii)當(dāng)年宣傳費(fèi)x為何值時(shí),年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大?
附:對(duì)于一組數(shù)據(jù)(u1,v1),(u2,v2),…,(un,vn),其回歸線\stackrel{∧}{v}=α+βu的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為:
\stackrel{∧}{β}=\frac{\sum_{i=1}^{n}({u}_{i}-\overline{u})({v}_{i}-\overline{v})}{\sum_{i=1}^{n}({u}_{i}-\overline{u})^{2}},\stackrel{∧}{α}=\overline{v}\overline{u}

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