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13.設(shè)函數(shù)f(x)=2sin(\frac{π}{2}+x)cosx-\sqrt{3}(cosx-sinx)2
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)將f(x)的圖象向右平移\frac{π}{12}個單位,再將圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的\frac{1}{2}倍,得到函數(shù)y=g(x),求g(\frac{π}{4})的值.

分析 (1)利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式,再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性,得出結(jié)論.
(2)根據(jù)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律,得出結(jié)論.

解答 解:(1)f(x)=2sin({\frac{π}{2}+x})cosx-\sqrt{3}{(cosx-sinx)^2}=2{cos^2}x-\sqrt{3}(1-2sinxcosx)=1+cos2x+\sqrt{3}sin2x-\sqrt{3}=2sin({2x+\frac{π}{6}})+1-\sqrt{3}
\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{6}≤\frac{3}{2}π+2kπ(k∈Z),求得x∈[{\frac{π}{6}+kπ,\;\;\frac{2}{3}π+kπ}],\;\;k∈Z,
故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為[kπ+\frac{π}{6},kπ+\frac{2π}{3}],k∈Z.
(2)將f(x)的圖象向右平移\frac{π}{12}個單位,可得y=2sin[2(x-\frac{π}{12})+\frac{π}{6}]+1-\sqrt{3}=2sin2x+1-\sqrt{3}的圖象;
再將圖象上所有點的橫坐標(biāo)縮短到原來的\frac{1}{2}倍,得到函數(shù)y=g(x)=2sin4x+1-\sqrt{3}的,
∴g(\frac{π}{4})=0+1-\sqrt{3}=1-\sqrt{3}

點評 本題主要考查三角恒等變換,正弦函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象變換規(guī)律,屬于中檔題.

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