【題目】已知四棱柱的所有棱長都為2，且.

（1）證明：平面平面；

（2）求直線與平面所成的角的正弦值.

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）要證平面平面，轉(zhuǎn)化為證明平面，通過證明及可得；

（2）連接，由（1）可得為直線與平面所成的角，在中求角的正弦值.另外可以用向量法求線面角.

（1）證明：設(shè)與的交點(diǎn)為，連接，

因為，，，

所以，

所以，

又因為是的中點(diǎn)，所以，

另由且，

所以平面，

而平面，所以平面平面.

（2）（法一）連接，由（1）知平面，

所以為直線與平面所成的角，

在菱形中，，

故，

所以

又因為，所以，

所以.

（法二）過作直線平面，分別以、、為、、軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

依題意，得，，，，，

所以，，，

設(shè)平面的法向量為，

所以，令，則，即，

所以，

即直線與平面所成的角的正弦值為.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)，．

（Ⅰ）若函數(shù)與的圖像在點(diǎn)處有相同的切線，求的值；

（Ⅱ）當(dāng)時，恒成立，求整數(shù)的最大值；

（Ⅲ）證明： ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知兩點(diǎn)分別在軸和軸上運(yùn)動，且，若動點(diǎn)滿足.

（1）求出動點(diǎn)的軌跡的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)動直線與曲線有且僅有一個公共點(diǎn)，與圓相交于兩點(diǎn)（兩點(diǎn)均不在坐標(biāo)軸上），求直線的斜率之積.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】小軍的微信朋友圈參與了“微信運(yùn)動”，他隨機(jī)選取了40位微信好友（女20人，男20人），統(tǒng)計其在某一天的走路步數(shù).其中，女性好友的走路步數(shù)數(shù)據(jù)記錄如下：

5860 8520 7326 6798 7325 8430 3216 7453 11754 9860

8753 6450 7290 4850 10223 9763 7988 9176 6421 5980

男性好友走路的步數(shù)情況可分為五個類別（說明：m～n表示大于等于m，小于等于n）：A（0～2000步）1人，B（2001～5000步）2人，C（5001～8000步）3人，D（8001～10000步）6人，E（10001步及以上）8人.若某人一天的走路步數(shù)超過8000步被系統(tǒng)認(rèn)定為“健康型”，否則被系統(tǒng)認(rèn)定為“進(jìn)步型”.

（1）請根據(jù)選取的樣本數(shù)據(jù)完成下面的列聯(lián)表，并根據(jù)此判斷能否有95％以上的把握認(rèn)為“認(rèn)定類型”與“性別”有關(guān)？

健康型

進(jìn)步型

總計

男

20

女

20

總計

40

（2）從小軍的40位好友中該天走路步數(shù)不超過5000的中隨機(jī)抽取3人，若表示抽到的三人分別是x，y，z，試用該表示法列舉出試驗所有可能的結(jié)果.若記“恰好抽到了一位女性好友”為事件A，求事件A的概率.

附：，

0.100

0.050

0.025

0.010

2.706

3.841

5.024

6.635

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，已知定點(diǎn)，點(diǎn)在軸上運(yùn)動，點(diǎn)在軸上運(yùn)動，點(diǎn)為坐標(biāo)平面內(nèi)的動點(diǎn)，且滿足，.

（1）求動點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）過曲線第一象限上一點(diǎn)（其中）作切線交直線于點(diǎn)，連結(jié)并延長交直線于點(diǎn)，求當(dāng)面積取最小值時切點(diǎn)的橫坐標(biāo).

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知是等差數(shù)列，滿足， ，數(shù)列滿足， ，且是等比數(shù)列.

（1）求數(shù)列和的通項公式；

（2）求數(shù)列的前項和.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知圓，過點(diǎn)作的異于軸的切線，過點(diǎn)作的異于軸的切線.設(shè)與交于點(diǎn)，記的軌跡為.

（1）求的方程；

（2）已知，在點(diǎn)處的切線交直線于點(diǎn)，過原點(diǎn)與平行的直線交于點(diǎn).證明：以為直徑的圓截軸的弦長為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會主義生態(tài)文明的價值取向.為了改善空氣質(zhì)量，某城市環(huán)保局隨機(jī)抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）的檢測數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計如表：

AQI

空氣質(zhì)量

優(yōu)

良

輕度污染

中度污染

重度污染

重度污染

天數(shù)

6

14

18

27

25

10

（1）從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于[0，50]，（50，100]的天數(shù)中任取3天，求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率；

（2）已知某企業(yè)每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失y（單位：元）與空氣質(zhì)量指數(shù)x的關(guān)系式為，假設(shè)該企業(yè)所在地7月與8月每天空氣質(zhì)量為優(yōu)、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴(yán)重污染的概率分別為.9月每天的空氣質(zhì)量對應(yīng)的概率以表中100天的空氣質(zhì)量的頻率代替.

（i）記該企業(yè)9月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失為X元，求X的分布列；

（ii）試問該企業(yè)7月、8月、9月這三個月因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟(jì)損失總額的數(shù)學(xué)期望是否會超過2.88萬元？說明你的理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】定義：若函數(shù)在區(qū)間上的值域為，則稱區(qū)間是函數(shù)的“完美區(qū)間”，另外，定義區(qū)間的“復(fù)區(qū)間長度”為，已知函數(shù)，則（ ）

A.是的一個“完美區(qū)間”

B.是的一個“完美區(qū)間”

C.的所有“完美區(qū)間”的“復(fù)區(qū)間長度”的和為

D.的所有“完美區(qū)間”的“復(fù)區(qū)間長度”的和為

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