Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（x+6）+f（x）=0，函數(shù)y=f（x-1）關(guān)于點（1，0）對稱，f（2）=4，則f（2014）=

 

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Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用,函數(shù)的值

專題：計算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由于函數(shù)f（x）滿足f（x+6）+f（x）=0，可推得函數(shù)f（x）是以12為最小正周期的函數(shù)，即有f（2014）=f（-2），再由函數(shù)y=f（x-1）關(guān)于點（1，0）對稱，可得f（x）圖象關(guān)于原點對稱，由f（2）=4即可得到答案．

解答： 解：由于函數(shù)f（x）滿足f（x+6）+f（x）=0，
則f（x+12）=-f（x+6）=f（x），
則函數(shù)f（x）是以12為最小正周期的函數(shù)，
則f（2014）=f（12×167+10）=f（10）=f（-2），
由于函數(shù)y=f（x-1）關(guān)于點（1，0）對稱，
則將y=f（x-1）的圖象左移1個單位，得到y(tǒng)=f（x）的圖象，
即有f（x）圖象關(guān)于原點對稱，
由于f（2）=4，則f（-2）=-f（2）=-4．
則f（2014）=-4．
故答案為：-4．

點評：本題考查抽象函數(shù)及運用，考查函數(shù)的周期性和對稱性及運用，考查運算能力，屬于中檔題．