解:(1)由于3×4 與
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/304.png)
均不屬于數(shù)集{1,3,4},∴數(shù)集{1,3,4} 不具有性質(zhì)P …2分
由于1×2,1×3,1×6,2×3,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/2048.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/70100.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/522135.png)
都屬于數(shù)集{1,2,3,6},
∴數(shù)集{1,2,3,6} 具有性質(zhì)P…4分
(2)∵A={a
1,a
2,…,a
n} 具有性質(zhì)P,
∴a
na
n 與
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/94436.png)
中至少有一個(gè)屬于A,由于 1≤a
1<a
2<…a
n,故a
na
n∉A …5分
從而
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/522136.png)
…6分∴a
1=1 …7分
當(dāng)n=3 時(shí),∵
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/522137.png)
,a
1=1,a
2a
3∉A,∴
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/522138.png)
都屬于A …8分
從而
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/522139.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/94445.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/522140.png)
,即a
3=a
1a
3=a
22,…9分
故數(shù)列a
1,a
2,a
3 成等比數(shù)列…10分
(3)對(duì)于一切大于或等于3的奇數(shù)n,滿足性質(zhì)P 的數(shù)列a
1,a
2,…,a
n 成等比數(shù)列. …12分
證明:由(2),不妨設(shè)n=2k+1(k∈N,k≥2).首先易得a
2k+1a
i∉A(i=1,…2k),知
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/522141.png)
都屬于A,又
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/522142.png)
,從而,有
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/522143.png)
,即 a
2k+1=a
1a
2k+1=a
2a
2k=a
3a
2k-1=…=a
i+2a
2k-i=…=a
2a
k+2=a
k+12 …(﹡) 因?yàn)閍
i+ja
2k-i>a
i+2a
2k-i=a
2k+1(0≤i≤k-2,3≤j≤2k-2i),所以,只有
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/522144.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/522145.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/522146.png)
均屬于A. 將i 從0 到k-2 列舉,便得到:
第1組:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/522147.png)
,共2k-2 項(xiàng);
第2組:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/522148.png)
,共2k-4 項(xiàng);
第3組:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/522149.png)
,共2k-6 項(xiàng);
…第k-1 組:
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/522150.png)
,共2 項(xiàng).上一組的第2項(xiàng)總大于下一組的第1項(xiàng),
再注意到
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/522151.png)
,故第1組的各數(shù)從左到右依次為:a
2k-2,a
2k-3,a
2k-4,…,a
2,a
1;第2組的各數(shù)從左到右依次為:a
2k-4,a
2k-5,a
2k-6,…,a
2,a
1;第3組的各數(shù)從左到右依次為:a
2k-6,a
2k-7,a
2k-8,…,a
2,a
1; …第k-1 組的各數(shù)從左到右依次為:a
2,a
1.于是,有
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/522152.png)
,由(﹡),
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/522153.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/522154.png)
,…,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/522155.png)
,又
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/522156.png)
,故數(shù)列a
1,a
2,…,a
n 成等比數(shù)列.…15分
分析:(1)根據(jù)性質(zhì)P;對(duì)任意的i,j(1≤i≤j≤n),a
ia
j與
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/94434.png)
兩數(shù)中至少有一個(gè)屬于A,驗(yàn)證給的集合集{1,3,4}與{1,2,3,6}中的任何兩個(gè)元素的積商是否為該集合中的元素;
(2)根據(jù)A={a
1,a
2,…,a
n} 具有性質(zhì)P,則a
na
n 與
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/94436.png)
中至少有一個(gè)屬于A,由于 1≤a
1<a
2<…a
n,故a
na
n∉A 從而
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/522136.png)
求出a
1的值,易證
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/522138.png)
都屬于A,從而
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/522139.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/94445.png)
,
![](http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/522140.png)
,即a
3=a
1a
3=a
22,滿足等比數(shù)列的定義;
(3)對(duì)于一切大于或等于3的奇數(shù)n,滿足性質(zhì)P 的數(shù)列a
1,a
2,…,a
n 成等比數(shù)列,由(2),不妨設(shè)n=2k+1(k∈N,k≥2).首先易得a
2k+1a
i∉A(i=1,…2k),仿照(2)的方法進(jìn)行證明即可.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查集合、等比數(shù)列的性質(zhì),考查運(yùn)算能力、推理論證能力、分分類討論等數(shù)學(xué)思想方法.此題能很好的考查學(xué)生的應(yīng)用知識(shí)分析、解決問題的能力,側(cè)重于對(duì)能力的考查,屬于較難層次題.