Question

【題目】如圖，在直棱柱

（I）證明：；

（II）求直線所成角的正弦值。

Answer 1

【答案】（I）見(jiàn)解析（II）

【解析】

試題（I）根據(jù)直棱柱性質(zhì)，得⊥平面ABCD，從而AC⊥，結(jié)合∩BD=B，證出AC⊥平面，從而得到；（II）根據(jù)題意得AD∥，可得直線與平面所成的角即為直線AD與平面所成的角．連接，利用線面垂直的性質(zhì)與判定證出⊥平面，從而可得．由AC⊥，可得⊥平面，從而得到與AD與平面所成的角互余．在直角梯形ABCD中，根據(jù)Rt△ABC∽R(shí)t△DAB，算出AB=，最后在Rt△中算出，可得，由此即可得出直線與平面所成的角的正弦值

試題解析：（1）因?yàn)?/span>平面，所以,因?yàn)?/span>故面，所以；

（2）以A為原點(diǎn)，AB所在邊為x軸，AD所在邊為y軸，AA1所在邊為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，；

因?yàn)?/span>，，所以，

因?yàn)?/span>，所以，

故，所以，

設(shè)為的法向量，

則，令，

所以為的一個(gè)法向量；

因?yàn)?/span>，，所以

所以直線所成角的正弦值.