Question

已知平面內(nèi)一動點P到點F（0，1）的距離與點P到y(tǒng)=-1的距離相等．
（Ⅰ）求動點P的軌跡方程C；
（II）過點F作兩條斜率存在且互相垂直的直線L₁，L₂，設(shè)L₁與軌跡C相交于點A，B，L₂與軌跡C相交于點D，E，當(dāng)

AD

•

.

EB

的取到最小值時，求L₁直線的方程．

Answer 1

考點：軌跡方程,直線的一般式方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）直接由拋物線的定義求得動點P的軌跡方程；
（Ⅱ）設(shè)出兩直線的參數(shù)方程，和拋物線方程聯(lián)立后由線系方程中參數(shù)的幾何意義得

AD

•

.

EB

的函數(shù)表達(dá)式，求出其最小值后進(jìn)一步求得L₁直線的方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵平面內(nèi)一動點P到點F（0，1）的距離與點P到y(tǒng)=-1的距離相等，
∴P的軌跡是以F（0，1）為焦點，以y=-1為準(zhǔn)線的拋物線，
其方程為x²=4y；
（Ⅱ）如圖所示：

AD

=

AF

+

FD

，

BE

=

BF

+

FE

，

AD

•

BE

=

AF

•

BF

+

FD

•

FE

．
設(shè)直線L₁的參數(shù)方程為

x=tcosα y=1+tsinα

，
則L₂的參數(shù)方程為

x=tcos(α+90°) y=1+tsin(α+90°)

．
將L₁的參數(shù)方程代入拋物線方程得：t²cos²α-4tsinα-4=0，
∴

AF

•

BF

=-

4

cos2α

．
將L₂的方程代入拋物線方程得：t²sin²α-4tcosα-4=0，
∴

FD

•

FB

=-

4

sin2α

．

AD

•

EB

=-(

AF

•

BF

+

FD

•

FE

)=4(

1

cos2α

+

1

sin2α

)=

4

(sinαcosα)2

=

16

sin22α

．
當(dāng)sin2α=1時，取最小值16．
此時α=45°，
∴直線L₁：

x= 2 2 t y=1+ 2 2 t

．
化為普通方程得：x-y+1=0．

點評：本題考查了軌跡方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，訓(xùn)練了利用直線的參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義解題的方法．是中檔題．