Question

11．已知函數f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-lnx．
（1）求函數f（x）的極值；
（2）求函數f（x）在[1，e]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）求出函數的定義域與導數，求出極值點，然后求解函數的極值．
（2）利用（1）求解函數的最值即可．

解答 解：（1）函數f（x）的定義域為（0，+∞），
且f′（x）=x-$\frac{1}{x}$=$\frac{（x+1）（x-1）}{x}$，（3分）
令f′（x）=0，可得x=1或x=-1（舍去），當x∈（0，1）時，函數單調遞減；x∈（1，+∞）時，單調遞增．
所以f（x）在x=1處取得極小值為$\frac{1}{2}$．   （8分）
（2）由（1）可知函數f（x）在[1，e]上為增函數，（9分）
∴f（x）_min=f（1）=$\frac{1}{2}$，f（x）_max=f（e）=$\frac{1}{2}e{\;}^2-1$．（12分）

點評 本題考查函數的導數的應用，函數的單調性以及函數的極值以及函數的最值的求法，考查計算能力．