Question

已知函數(shù)f(x)＝x－aln x(a∈R)．

(1)當a＝3時，求曲線y＝f(x)在點A(1，f(1))處的切線方程；

(2)求函數(shù)f(x)的極值．

Answer 1

【解】函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝1－.

(1)當a＝3時，f(x)＝x－3lnx，f′(x)＝1－ (x>0)，

因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，

所以曲線y＝f(x)在點A(1，f(1))處的切線方程為y－1＝－2(x－1)，

即x＋y－3＝0.

(2)由f′(x)＝1－＝，x>0知：

①當a≤0時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)為(0，＋∞)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無極值；

②當a>0時，由f′(x)＝0，解得x＝a.

又當x∈(0，a)時，f′(x)<0；當x∈(a，＋∞)時，f′(x)>0，從而函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值，且極小值為f(a)＝a－aln a，無極大值．

綜上，當a≤0時，函數(shù)f(x)無極值；

當a>0時，函數(shù)f(x)在x＝a處取得極小值a－aln a，無極大值．