Question

如圖，EA，EC是以AB為直徑的半圓的切線，AE與BC的延長線交于點(diǎn)F，過點(diǎn)C作CD⊥AB交AB于D，交BE于H．
（1）證明：E是AF的中點(diǎn)；
（2）若∠F=30°，AB=2，求CH的長度．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的切線的性質(zhì)定理的證明

專題：推理和證明

分析：（1）取AB中點(diǎn)O，連結(jié)OC，連結(jié)AC，由弦切角定理、三角形內(nèi)角和定理、圓的性質(zhì)，推導(dǎo)出∠ACF+∠OCD+∠BCD=90°，∠F=∠BAC=∠BCD=∠ACO=∠DCO=30°，∠FAC=∠ACF=∠ABC=60°，從而∠F=∠ECF，進(jìn)而EF=EC=EA，由此能證明E是AF的中點(diǎn)．
（2）由∠F=30°，AB=2，得BF=4，AF=2

3

，AE=EC=

3

，由切割線定理得AF²=FC•BF，解得FC=3，BC=1，由此能求出CH．

解答： （1）證明：取AB中點(diǎn)O，連結(jié)OC，連結(jié)AC，
由已知得∠FAC=∠ACE=∠ABC，
∠F=∠BAC=∠BCD=∠ACO=∠DCO，
∵∠ABF+∠F=90°，∴∠FAC+∠F=90°，
∴AC⊥BF，∴∠ACF+∠OCD+∠BCD=90°，
∴∠F=∠BAC=∠BCD=∠ACO=∠DCO=30°，
∴∠FAC=∠ACF=∠ABC=60°，
∴∠ECF=180°-60°-90°=30°，
∴∠F=∠ECF，∴EF=EC=EA，
∴E是AF的中點(diǎn)．
（2）解：∵∠F=30°，AB=2，∴BF=4，AF=2

3

，
∴AE=EC=

3

，
∵AF是切線，BCF是割線，
∴AF²=FC•BF，即（2

3

）²=FC×4，解得FC=3，BC=1，
∴

CD

AF

=

BC

BF

=

BD

AB

=

1

4

，∴CD=

1

4

×AF=

3

2

，
∴

HD

AE

=

BD

AB

=

1

4

，∴HD=

1

4

×AE=

3

4

，
∴CH=CD-HD=

3

2

-

3

4

=

3

4

．

點(diǎn)評：本題考查線段的中點(diǎn)的證明，考查線段長的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意弦切角定理、三角形內(nèi)角和定理、切割線定理的合理運(yùn)用．