定義:對(duì)于兩個(gè)雙曲線C1,C2,若C1的實(shí)軸是C2的虛軸,C1的虛軸是C2的實(shí)軸,則稱C1,C2為共軛雙曲線.現(xiàn)給出雙曲線Γ1:y=x+
1
x
和雙曲線Γ2:y=x-
1
x
,其離心率分別為e1,e2
(1)寫出Γ1,Γ2的漸近線方程(不用證明);
(2)試判斷雙曲線Γ1:y=x+
1
x
和雙曲線Γ2:y=x-
1
x
是否為共軛雙曲線?請(qǐng)加以證明.
(3)求值:
1
e12
+
1
e22
考點(diǎn):雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)
專題:綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程
分析:(1)根據(jù)題意,可得Γ1,Γ2的漸近線方程;
(2)雙曲線Γ1:y=x+
1
x
和雙曲線Γ2:y=x-
1
x
是共軛雙曲線,利用共軛雙曲線的定義進(jìn)行驗(yàn)證即可;
(3)由(2)可求值:
1
e12
+
1
e22
解答: 解:(1)Γ1,Γ2的漸近線方程分別為y=x和x=0;
(2)雙曲線Γ1:y=x+
1
x
和雙曲線Γ2:y=x-
1
x
是共軛雙曲線,證明如下:
雙曲線Γ1:y=x+
1
x
的實(shí)軸所在的直線是y=x和x=0的角平分線所在直線為y=tan67.5°=(
2
+1)x,
虛軸所在直線為y=tan157.5°x=(1-
2
)x,
實(shí)軸和虛軸的交點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方d2=a12=2+2
2
,
b1
a1
=tan22.5°=
2
-1,∴b12=2
2
-2,∴c12=4
2

同理雙曲線Γ2:y=x-
1
x
的實(shí)軸、虛軸所在的直線y=(1-
2
)x,y=(
2
+1)x,
∴雙曲線Γ1:y=x+
1
x
和雙曲線Γ2:y=x-
1
x
是共軛雙曲線
(3)由(2)知
1
e12
=
2+2
2
4
2
,
1
e22
=
2
2
-2
4
2
,
1
e12
+
1
e22
=2,.
點(diǎn)評(píng):本題考查雙曲線的幾何性質(zhì),考查新定義,考查離心率的計(jì)算,考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力,屬于中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=cos2x,g(x)=1+
1
2
sin2x.
(1)若點(diǎn)A(α,y)(α∈[0,
π
4
])為函數(shù)f(x)與g(x)的圖象的公共點(diǎn),試求實(shí)數(shù)α的值;
(2)求函數(shù)h(x)=f(x)+g(x),x∈[0,
π
4
]的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

若不等式
9-x2
≤k(x+2)-
2
的解集為區(qū)間[a,b],且b-a=2,則k=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=
3
sin2x+cos2x+1
2cosx

(Ⅰ)求f(x)的定義域和值域;
(Ⅱ)若曲線f(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))(-
π
2
<x0
π
2
)處的切線平行直線y=
3
x,求在點(diǎn)P處的切線方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

在△ABC中,三邊a、b、c對(duì)角分別為A、B、C,且3acosB-bcosC-ccosB=0
(1)求角B的余弦值;
(2)若
BA
BC
=2,且b=2
2
,求a和c的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知
a
=(
3
,-1),
b
=(
1
2
,
3
2
).
(1)設(shè)
a
b
的夾角為θ,解關(guān)于x的不等式:log3(2x-1)≤21-sinθ
(2)若存在不同時(shí)為0的實(shí)數(shù)k和t,使
x
=a+(t-3)b,
y
=-ka+tb,且
x
y
,試求函數(shù)關(guān)系式k=f(t);
(3)求函數(shù)k=f(t)的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且滿足a2+a4=14,S7=70
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=
2Sn-25n
n
,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn,并求出Tn<0時(shí)的最大值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0),其右焦點(diǎn)為(1,0),并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)(
2
2
3
2
),直線l與C相交于M、N兩點(diǎn),l與x軸、y軸分別相交于P、Q兩點(diǎn).
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)判斷是否存在直線l,使得P、Q是線段MN的兩個(gè)三等分點(diǎn),若存在,求出直線l的方程,若不存在,說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)點(diǎn)P在以F1、F2為左、右焦點(diǎn)的雙曲線C:
x2
a2
-
y2
b2
=1(a>0,b>0)上,PF2⊥x軸,|PF2|=3,點(diǎn)D為其右頂點(diǎn),且|F1D|=3|DF2|.
(1)求雙曲線C方程;
(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)F2的直線l與交于雙曲線C不同的兩點(diǎn)A、B,且滿足|OA|2+|OB|2>|AB|2(其中 O為原點(diǎn)),求直線l的斜率的取值范圍.

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