Question

四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為8的菱形，∠BAD=

π

3

，若PA=PD=5，平面PAD⊥平面ABCD．
（1）求四棱錐P-ABCD的體積；
（2）求證：AD⊥PB．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）過P作PM⊥AD于M．利用面PAD⊥面ABCD可得PM⊥面ABCD，菱形ABCD的面積S=82×sin

π

3

，再利用V_P-ABCD=

1

3

•PM•S菱形ABCD即可得出．
（2）連接BM．利用BD=BA=8，AM=DM，∠BAD=

π

3

．可得AD⊥BM，又AD⊥PM，可得AD⊥平面PMB，即可得出．

解答： （1）解：過P作PM⊥AD于M．
∵面PAD⊥面ABCD，面PAD∩面ABCD=AD，PM?面PAD．
∴PM⊥面ABCD，
又PA=PD=5，AD=8．
∴M為AD的中點且PM=

52-42

=3．
∵∠BAD=

π

3

，AD=8，
∴菱形ABCD的面積S=82×sin

π

3

=32

3

．
∴V_P-ABCD=

1

3

•PM•S菱形ABCD=

1

3

×3×32

3

=32

3

．
（2）證明：連接BM．
∵BD=BA=8，AM=DM，∠BAD=

π

3

．
∴AD⊥BM，
又AD⊥PM，且BM∩PM=M．
∴AD⊥平面PMB．
∴AD⊥PB．

點評：本題考查了線面面面垂直的判定與性質定理、棱錐的體積計算公式、菱形的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．