Question

已知函數(shù)f（x）=-

1

3

ex³+

1

2

x²+

2

e

x，g（x）=f（x）-

2

e

x+e^x（x-1），函數(shù)g（x）的導函數(shù)為g′（x），其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）求f（x）的極值；
（Ⅱ）求g（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當x＞0時，求證：g′（x）≥1+lnx．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,證明題,導數(shù)的綜合應用

分析：（Ⅰ）求出導數(shù)，令它大于0，得增區(qū)間，令小于0，得減區(qū)間，判斷極小值和極大值；
（Ⅱ）寫出g（x）的表達式，求導數(shù)，得到g′（x）=x（e^x+1-ex），令y=e^x+1-ex，應用導數(shù)
證明y＞0恒成立，再解不等式g′（x）＞0，g′（x）＜0求出單調(diào)區(qū)間；
（Ⅲ）當x＞0時，令h（x）=1+lnx+ex²-x-e^xx，求出導數(shù)h′（x），當x=1時，h′（x）=0，由（Ⅱ）得，e^x-ex≥0，討論當x＞1時，當0＜x＜1時，導數(shù)的符號，從而得到h（x）的最大值，即可得證．

解答： （Ⅰ）解：函數(shù)f（x）=-

1

3

ex³+

1

2

x²+

2

e

x，
f′（x）=-ex²+x+

2

e

=（-ex-1）（x-

2

e

），
f′（x）＞0得-

1

e

＜x＜

2

e

；f′（x）＜0得x＞

2

e

或x＜-

1

e

．
則f（x）在x=-

1

e

處取極小值，且為f(-

1

e

)=-

7

6e2

，
f（x）在x=

2

e

處取極大值，且為f(

2

e

)=

10

3e2

．
（Ⅱ）解：g（x）=-

1

3

ex³+

1

2

x²+

2

e

x-

2

e

x+e^x（x-1）
=-

1

3

ex³+

1

2

x²+e^x（x-1），
g′（x）=-ex²+x+e^x（x-1）+e^x，
則g′（x）=x（e^x+1-ex），
令y=e^x+1-ex，則y′=ex-e，y′＞0，得x＞1，y′＜0，得x＜1，則x=1取極小，也是最小，
則y≥1．即e^x+1-ex＞0恒成立，
則g′（x）＞0得x＞0；g′（x）＜0得x＜0．
故g（x）的增區(qū)間為（0，+∞），減區(qū)間為（-∞，0）．
（Ⅲ）證明：當x＞0時，1+lnx-g′（x）=1+lnx+ex²-x-e^xx，
令h（x）=1+lnx+ex²-x-e^xx，
h′（x）=

1

x

+2ex-1-e^xx-e^x，
當x=1時，h′（x）=0，由（Ⅱ）得，e^x-ex≥0，
當x＞1時，h′（x）＜0，當0＜x＜1時，h′（x）＞0，
故x=1為極大值，也為最大值，且為h（1）=0．
故當x＞0時，h（x）≤h（1），即有h（x）≤0，
故當x＞0時，1+lnx-g′（x）≤0，即g′（x）≥1+lnx．

點評：本題考查導數(shù)的應用：求單調(diào)區(qū)間、求極值，求最值，考查構造函數(shù)證明不等式恒成立問題，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題，應用導數(shù)求解，本題屬于中檔題．