Question

已知以a₁為首項的數(shù)列{a_n}滿足a_n+1=

an+c，an＜3 an d ，an≥3

．
（Ⅰ）當a₁=1，c=1，d=3時，求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）當0＜a₁＜1，c=1，d=3時，試用數(shù)列a₁表示數(shù)列{a_n}前100項的和S₁₀₀；
（Ⅲ）當0＜a₁＜

1

m

（m∈N^*），c=

1

m

時，正整數(shù)d≥3m時，證明：數(shù)列a₂-

1

m

，a_3m+2-

1

m

，a_6m+2-

1

m

，a_9m+2-

1

m

成等比數(shù)列的充要條件是d=3m．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）當a₁=1，c=1，d=3時，根據(jù)遞推關系即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）當0＜a₁＜1，c=1，d=3時，分別求出數(shù)列的通項公式，即可用數(shù)列a₁表示數(shù)列{a_n}前100項的和S₁₀₀；
（Ⅲ）當0＜a₁＜

1

m

（m∈N^*），c=

1

m

時，正整數(shù)d≥3m時，分別判斷數(shù)列a₂-

1

m

，a_3m+2-

1

m

，a_6m+2-

1

m

，a_9m+2-

1

m

的符號，根據(jù)等比數(shù)列的等價條件進行判斷．

解答： 解：（Ⅰ）當a₁=1，c=1，d=3時，a_n+1=

an+1， an＜3 1 3 an， an≥3

．
則由a₁=1得a₂=a₁+1=2，a₃=a₂+1=3，a₄=

1

3

a₃=1，
即數(shù)列具備周期性周期為3，則數(shù)列的通項公式為a_n=

1， n=3k-2 2， n=3k-1 3， n=3k

k∈N•；
（II）當0＜a₁＜1，c=1，d=3時，a₂=a₁+1，a₃=a₁+2，a₄=a₁+3，a₅=

a1

3

+1，a₆=

a1

3

+1，
a_3k+2=

a1

3k+1

+1，a_3k=

a1

3k

+2，a_3k+1=

a1

3k-1

+3，
則數(shù)列{a_n}前100項的和S₁₀₀=a₁+（a₂+a₂+a₃）+（a₄+a₅+a₆）+…+（a₉₈+a₉₉+a₁₀₀）
=a₁+（3a₁+6）+（a₁+6+

a1

3

+6）+…+（

a1

331

+6）=a1[1+

3- 1 332

1- 1 3

]+6×33=

a1

2

(11-

1

332

)+198．
（3）①當d=3m時，a2=a1+

1

m

；a3m=a1+

3m-1

m

=a1+3-

1

m

＜3＜a1+3=a3m+1a3m+2=

1

m

+

a1

3m

，
a6m=

a1

3m

-

1

m

+3＜3＜

a1

3m

+3=a6m+1，a6m+2=

a1

9m2

+

1

m

，
a9m=a6m+2+

3m-2

m

=

a1

9m2

+3-

1

m

＜3＜

a1

9m2

+3=a9m+1，
a9m+2=

a1 9m2 +3

3m

=

a1

27m3

+

1

m

綜上所述，當d=3m，數(shù)列a2-

1

m

，a3m+2-

1

m

，a6m+2-

1

m

，a9m+2-

1

m

是公比為

1

3m

的等比數(shù)列．
②假設d≥3m+1，則a_3m-1=a₁+3∈(3，3+

1

m

)，a_3m-2=

a1+3

d

≤

a1+3

3m+1

＜

1 m +3

3m+1

，
∴a_3m+2∈（0，

1

m

），
又a_6m+1=a_3m+2+

3m-1

m

∈(3-

1

m

，3)，
∴a_6m+2=a_6m+1++

1

m

=3+

a1+3

d

∈(3，3+

1

m

)，
a_6m+2=a_6m+1+

1

m

=3+

a1+3

d

∈(3，3+

1

m

)，
a_6m+3=

a3m+2

d

∈(0，

1

m

)，a_9m+2=a_6m+3+

3m-1

m

∈(3-

1

m

，3)，
則a₂-

1

m

＞0，a_3m+2-

1

m

＜0，a_6m+2-

1

m

＞0，a_9m+2-

1

m

＞0，
則a₂-

1

m

，a_3m+2-

1

m

，a_6m+2-

1

m

，a_9m+2-

1

m

不能成等比數(shù)列，
故假設不成立．

點評：本題主要考查遞推數(shù)列的應用，綜合性較強，難度較大．