Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c，（a，b，c∈R）的最小值為-1，且f（-2）=f（0）=0
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）設F（x）=tf（x）-x-3其中t≥0，求函數(shù)F（x）在x∈[-

3

2

，2]時的最大值H（t）；
（3）若g（x）=f（x）+k（k為實數(shù)），對任意m∈[0，+∞）使得g（m）=H（m）成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：計算題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）根據(jù)不等式的解集，以及二次函數(shù)的性質(zhì)即可求函數(shù)y=f（x）的解析式；
（2）求出F（x）的表達式，結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求函數(shù)F（x）在x∈[-

3

2

，2]時的最大值H（t）；
（3）求出函數(shù)H（x）的值域，利用函數(shù)與方程之間的關系即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵f（-2）=f（0）=0，
∴f（0）=c=0，f（-2）=4a-2b=0，
又f（x）的最小值即-

b2

4a

=-1，
∴a=1，b=2，c=0，∴f（x）=x²+2x；
（2）F（x）=t（x²+2x）-x-3=tx²+（2t-1）x-3，（t≥0）
分以下情況討論F（x），x∈[-

3

2

，2]的最大值H（t），
①當t=0時，F(xiàn)（x）=-x-3在[-

3

2

，2]上是減函數(shù)，H（t）=F（x）max=F（-

3

2

）=-

3

2

．
②當t＞0時，F(xiàn)（x）的圖象關于直線x=-

2t-1

2

=-1+

1

2t

對稱，
∵

- 3 2 +2

2

=

1

4

，故只需比較-1+

1

2t

與

1

4

的大�。�
當-1+

1

2t

≤

1

4

時，即t≥

2

5

時，F(xiàn)（2）≥F（-

3

2

），F(xiàn)（x）max=H（t）=F（2）=8t-5．
當-1+

1

2t

＞

1

4

時，即0＜t＜

2

5

時，F(xiàn)（2）＜F（-

3

2

），F(xiàn)（x）max=H（t）=F（-

3

2

）=-

3

4

t-

3

2

； 
綜上所得H（t）=

- 3 4 t- 3 2 ，0≤t＜ 2 5 8t-5，t≥ 2 5

．
（3）∵H（t）=

- 3 4 t- 3 2 ，0≤t＜ 2 5 8t-5，t≥ 2 5

，函數(shù)H（t）的值域為[-

9

5

，+∞），
g（x）=x²+2x+k在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增，
故值域為[k，+∞），對任意m∈[0，+∞）使得g（m）=H（m）成立，
則[k，+∞）=[-

9

5

，+∞），
∴k=-

9

5

．則實數(shù)k的取值范圍是{-

9

5

}．

點評：本題主要考查不等式的應用以及函數(shù)單調(diào)性的應用，注意要對t進行分類討論，考查學生的計算能力．