Question

1．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-alnx（a∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）討論方程f（x）=0解的個(gè)數(shù)，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)f（x）在（1，+∞）為增函數(shù)，我們易得F′（x）≥0在（1，+∞）上恒成立，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為一個(gè)函數(shù)恒成立問題，進(jìn)而求出a的取值范圍；
（2）對(duì)a進(jìn)行分類討論：當(dāng)a=0時(shí)，當(dāng)a＜0時(shí)，當(dāng)a＞0時(shí)．把a(bǔ)代入f（x）中確定出f（x）的解析式，然后根據(jù)f（x）的解析式求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，分別令導(dǎo)函數(shù)大于0和小于0得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到f（x）的最小值，根據(jù)最小值小于0得到函數(shù)沒有零點(diǎn)即零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0．

解答 解：（1）因?yàn)?f'（x）=x-\frac{a}{x}$，
當(dāng)函數(shù)f（x）在（1，+∞）上恒成立時(shí)，則f'（x）≥0在（1，+∞）上恒成立，
即：a≤x²在（1，+∞）上恒成立，所以有 a≤1．
（2）①當(dāng)a=0時(shí)，f（x）在定義域（0，+∞）上恒大于0，此時(shí)方程無解；
②當(dāng)a＜0時(shí)，$f'（x）=x-\frac{a}{x}＞0$在（0，+∞）上恒成立，所以f（x）在定義域（0，+∞）上為增函數(shù)，
因?yàn)?f（1）=\frac{1}{2}＞0$，$f（{e^{\frac{1}{a}}}）=\frac{1}{2}{e^{\frac{2}{a}}}-1＜0$，所以方程有惟一解；
③當(dāng)a＞0時(shí)，$f'（x）=x-\frac{a}{x}=\frac{{{x^2}-a}}{x}=\frac{{（x+\sqrt{a}）（x-\sqrt{a）}}}{x}$，
因?yàn)楫?dāng)$x∈（0，\sqrt{a}）$時(shí)，f'（x）＜0，f（x）在$（0，\sqrt{a}）$內(nèi)為減函數(shù)；
當(dāng)$x∈（\sqrt{a}，+∞）$時(shí)，f'（x）＞0，f（x）在$（\sqrt{a}，+∞）$內(nèi)為增函數(shù)，
所以當(dāng)$x=\sqrt{a}$時(shí)，f（x）有極小值，
即為最小值$f（\sqrt{a}）=\frac{1}{2}a-aln\sqrt{a}=\frac{1}{2}a（1-lna）$．
（i）當(dāng)a∈（0，e）時(shí)，$f（\sqrt{a}）=\frac{1}{2}a（1-lna）＞0$，此方程無解；
（ii）當(dāng)a=e時(shí)，$f（\sqrt{a}）=\frac{1}{2}a（1-lna）=0$，此方程有惟一解$x=\sqrt{a}$；
（iii）當(dāng)a∈（e，+∞）時(shí)，$f（\sqrt{a}）=\frac{1}{2}a（1-lna）＜0$，
因?yàn)?f（1）=\frac{1}{2}＞0$且$1＜\sqrt{a}$，所以方程f（x）=0在區(qū)間$（0，\sqrt{a}）$上有惟一解；
因?yàn)楫?dāng)x＞1時(shí)，（x-lnx）'＞0，所以x-lnx＞1，所以x＞lnx，
故$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}-alnx＞\frac{1}{2}{x^2}-ax$，
因?yàn)?nbsp;$2a＞\sqrt{a}＞1$，所以 $f（x）＞\frac{1}{2}{（2a）^2}-2{a^2}=0$，
所以方程f（x）=0在區(qū)間$（\sqrt{a}，+∞）$上有惟一解；
所以當(dāng)a∈（e，+∞）時(shí)，方程f（x）=0有兩解．
綜上所述：當(dāng)a∈[0，e）時(shí)，方程無解；
當(dāng)a＜0或a=e時(shí)，方程有惟一解；
當(dāng)a＞e時(shí)，方程有兩解．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)考查分類討論的思想，計(jì)算能力，屬于難題．此類題解答的關(guān)鍵是學(xué)生會(huì)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，會(huì)根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的最值，掌握函數(shù)零點(diǎn)的判斷方法，是一道綜合題．