Question

11．F是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的右焦點(diǎn)，P為C上一動點(diǎn)，點(diǎn)A坐標(biāo)為（1，1），則|PA|+|PF|的最小值為（　�。�

• A． 4+$\sqrt{5}$
• B． 4-$\sqrt{5}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F'，連接PF'、AF'，根據(jù)橢圓的定義得|PA|+|PF|=4+（|PA|-|PF'|），結(jié)合圖形可得當(dāng)P、A、F'三點(diǎn)共線，且P在F'A延長線上時，|PA|-|PF'|取得最小值，利用兩點(diǎn)之間距離公式，則不難求出這個最小值．

解答 解：設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F'，連接PF'、AF'
∵點(diǎn)P在橢圓$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1上運(yùn)動，
∴|PF|+|PF'|=2a=4
由此可得|PA|+|PF|=|PA|+（4-|PF'|）=4+（|PA|-|PF'|）
當(dāng)P、A、F'三點(diǎn)共線，且P在F'A延長線上時，|PA|-|PF'|取得最小值
∴|PA|-|PF'|的最小值為：-|AF'|=$\sqrt{（1+1）^{2}+（1-0）^{2}}$=-$\sqrt{5}$
由此可得|PA|+|PF|的最大值為4-$\sqrt{5}$
故選：B．

點(diǎn)評 本題給出橢圓內(nèi)部一點(diǎn)A和橢圓上動點(diǎn)P，求距離之和的最小值，著重考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．