Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ABC=90°，AB=BC=AA₁=2，D是AB的中點(diǎn)
（1）求證：AC_l∥平面B₁DC
（2）若E是A₁B₁的中點(diǎn)，點(diǎn)P為一動(dòng)點(diǎn)，記PB₁=x，點(diǎn)P從E出發(fā)，沿著三棱柱的棱，按E經(jīng)A₁到4的路線運(yùn)動(dòng)，求這一過程中三棱錐P-BCC₁的體積的表達(dá)式y(tǒng)（z），并求V（x）的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）欲證AC₁∥面B₁DC，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證AC₁與面B₁DC內(nèi)一直線平行即可，取B₁C中點(diǎn)F，又D為AB中點(diǎn)則DF∥AC_l，DF?面B₁DC，AC_l?面B₁DC，滿足定理所需條件；
（2）根據(jù)條件可知PB₁⊥平面BCC₁，當(dāng)點(diǎn)P從E點(diǎn)出發(fā)到A₁點(diǎn)時(shí)，即x∈[1，2]時(shí)，求出V_p-BCC，當(dāng)點(diǎn)P從A₁點(diǎn)出發(fā)到A點(diǎn)時(shí)，即x∈[2，2

2

]，求出V_p-BCC，然后利用分段函數(shù)求出V（x）的體積的最值．

解答：解：（1）取B₁C中點(diǎn)F，又D為AB中點(diǎn)∴DF∥AC_l（2分）
又∵DF?面B1DC，AC_l?面B₁DC
∴AC₁∥面B₁DC（4分）
（2）已知PB₁=x，S_△BCC=2
又A₁B₁⊥平面BCC₁
∴PB₁⊥平面BCC₁（6分）
當(dāng)點(diǎn)P從E點(diǎn)出發(fā)到A₁點(diǎn)時(shí)，即x∈[1，2]時(shí)，V_p-BCC=

1

3

•S_△BCC•PB=

2x

3

當(dāng)點(diǎn)P從A₁點(diǎn)出發(fā)到A點(diǎn)時(shí)，即x∈[2，2

2

]，V_p-BCC=

1

3

•S_△BCC•AB=

4

3

從而V（x）=

2x 3 x∈[1，2] 4 3 x∈[2，2 2 ]

（8分）
故

2

3

=V（1）≤V（x）≤V（2）=

4

3

即V（x）最大值是

4

3

，最小值是

2

3

（10分）

點(diǎn)評：本題主要考查直線與平面平行的判定，以及三棱錐的體積最值的計(jì)算，體積的求解在最近兩年高考中頻繁出現(xiàn)，值得重視，屬于綜合題．