Question

在三角形ABC中，O是外心，I是內(nèi)心，若∠BOC=∠BIC，則∠A=

 

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Answer 1

考點(diǎn)：圓內(nèi)接多邊形的性質(zhì)與判定

專題：直線與圓

分析：首先根據(jù)O為△ABC的外心，即⊙O為△ABC的外接圓，利用圓周角定理可得∠BOC=2∠BAC；然后根據(jù)三角形的內(nèi)切圓，得到∠ABC=2∠IBC，∠ACB=2∠ICB，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理表示出∠IBC+∠ICB，進(jìn)而求出∠A的度數(shù)即可．

解答：解：根據(jù)題意，0為△ABC的外心，
利用圓周角定理可得∠BOC=2∠A；
∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，
∴∠ABC=2∠IBC，∠ACB=2∠ICB，
∴∠IBC+∠ICB=180°-∠BIC=180°-∠BOC=180°-2∠A，
又∵∠IBC+∠ICB=

1

2

（∠ABC+∠ACB）=

1

2

(180°-∠A)=90°-

1

2

∠A，
∴180°-2∠A=90°-

1

2

∠A，
解得∠A=60°．
故答案為：60°．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓周角定理在三角形的外接圓中的應(yīng)用，考查了三角形的內(nèi)心的性質(zhì)，屬于中檔題，解答此題的關(guān)鍵是正確區(qū)分三角形的內(nèi)外心．