Question

閱讀：已知a，b∈（0，+∞），a+b=1，求y=

1

a

+

2

b

的最小值．
解法如下：y=

1

a

+

2

b

=（

1

a

+

2

b

）（a+b）=

b

a

+

2a

b

+3≥3+2

2

，當(dāng)且僅當(dāng)

b

a

=

2a

b

，即a=

2

-1，b=2-

2

時(shí)取到等號(hào)，則y=

1

a

+

2

b

的最小值為3+2

2

．
應(yīng)用上述解法，求解下列問(wèn)題：
（1）已知a，b，c∈（0，+∞），a+b+c=1，求y=

1

a

+

1

b

+

1

c

的最小值；
（2）已知x∈（0，

1

2

），求函數(shù)y=

1

x

+

8

1-2x

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）y=

1

a

+

1

b

+

1

c

=（

1

a

+

1

b

+

1

c

）（a+b+c）=3+（

b

a

+

a

b

+

c

a

+

a

c

+

c

b

+

b

c

），利用基本不等式求得

b

a

+

a

b

+

c

a

+

a

c

+

c

b

+

b

c

≥6，即可得出結(jié)論；
（2）y=

1

x

+

8

1-2x

=（

2

2x

+

8

1-2x

）（2x+1-2x）=10+2•

1-2x

2x

+8•

2x

1-2x

，利用基本不等式求得2•

1-2x

2x

+8•

2x

1-2x

≥2

16

=8，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）y=

1

a

+

1

b

+

1

c

=（

1

a

+

1

b

+

1

c

）（a+b+c）=3+（

b

a

+

a

b

+

c

a

+

a

c

+

c

b

+

b

c

），
而

b

a

+

a

b

+

c

a

+

a

c

+

c

b

+

b

c

≥6，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=

1

3

時(shí)取到等號(hào)，
則y≥9，即y=

1

a

+

1

b

+

1

c

的最小值為9．
（2）y=

1

x

+

8

1-2x

=（

2

2x

+

8

1-2x

）（2x+1-2x）=10+2•

1-2x

2x

+8•

2x

1-2x

，
而x∈（0，

1

2

），2•

1-2x

2x

+8•

2x

1-2x

≥2

16

=8，
當(dāng)且僅當(dāng)2•

1-2x

2x

=8•

2x

1-2x

，即x=

1

6

∈（0，

1

2

）時(shí)取到等號(hào)，則y≥18，
所以函數(shù)y=

1

x

+

8

1-2x

的最小值為18．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查利用基本不等式求函數(shù)的最值問(wèn)題，合理的變形是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，解題時(shí)注意基本不等式成立的條件，屬于中檔題．