Question

（1）已知，求證：；
（2）已知，且，
求證：．

Answer 1

證明見(jiàn)解析.

試題分析：（1）本題證明只要利用作差法即可證得；（2）這個(gè)不等式比較復(fù)雜，考慮到不等式的形式，我們可用數(shù)學(xué)歸納法證明，關(guān)鍵在時(shí)的命題如何應(yīng)用時(shí)的結(jié)論，中要把兩個(gè)括號(hào)合并成一個(gè)，又能應(yīng)用時(shí)的結(jié)論證明時(shí)的結(jié)論，當(dāng)時(shí)，結(jié)論已經(jīng)成立，當(dāng)時(shí)，在中可找到一個(gè)，不妨設(shè)為，使，即，從而有
，這樣代入進(jìn)去可證得時(shí)結(jié)論成立.
（1）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824052706264494.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，即；             2分
（2）證法一（數(shù)學(xué)歸納法）：（�。┊�(dāng)時(shí)，，不等式成立．      4分
（ⅱ）假設(shè)時(shí)不等式成立，即成立.    5分
則時(shí)，若，則命題成立；若，則中必存在一個(gè)數(shù)小于1，不妨設(shè)這個(gè)數(shù)為，從而，即．同理可得，
所以



 
故時(shí)，不等式也成立．                           9分
由（�。�（ⅱ）及數(shù)學(xué)歸納法原理知原不等式成立.                    10分
證法二：（恒等展開(kāi)）左右展開(kāi)，得

由平均值不等式，得
                            8分
故

．                                  10分