Question

【題目】已知數(shù)列滿足，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且滿足.

（Ⅰ）確定與的關(guān)系式，并求的解析式.

（Ⅱ）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，是否存在實(shí)數(shù)，使得對于任意的，都有恒成立？若存在，求出的最大值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）存在，的最大值為0.

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且數(shù)列滿足及，可得，從而可得為等比數(shù)列，并得出的解析式；

（Ⅱ）由求出，遞推公式代入可得，由裂項(xiàng)求和可得，代入不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題即可求解的最大值.

（Ⅰ）∵函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且數(shù)列滿足，

∴，而.

∴.

又，∴，∴，為等比數(shù)列.

∴.

（Ⅱ）∵，∴.

∴，

∴

.

∴恒成立，即恒成立，

即對于任意的恒成立，

∵關(guān)于單調(diào)遞減且恒成立，

∴.

∴的最大值為0.