Question

【題目】過橢圓E：1（a＞b＞0）上一動(dòng)點(diǎn)P向圓O：x2+y2＝b2引兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別是A，B．直線AB分別與x軸，y軸交于點(diǎn)M，N（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．

（1）若在橢圓E上存在點(diǎn)P，滿足PA⊥PB，求橢圓E的離心率的取值范圍；

（2）求證：在橢圓E內(nèi)，存在一點(diǎn)C滿足|CO|＝|CA|＝|CP|＝|CB|；

（3）若橢圓E的短軸長(zhǎng)為2，△MON面積的最小值為，求橢圓E的方程．

Answer 1

【答案】（1）[，1）；（2）見解析（3）．

【解析】

（1）由題意可知，又由，得，因?yàn)?/span>，列出不等式求解即可得到本題答案；

（2）當(dāng)點(diǎn)C為OP得中點(diǎn)時(shí)，由直角三角形的性質(zhì)：斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得到點(diǎn)C符合題意；

（3）由題意可知，設(shè)出點(diǎn)P坐標(biāo)，求出以為直徑的圓的方程，與圓O的方程相減得過切點(diǎn)的直線方程，再求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出，再求出點(diǎn)O到直線MN的距離d，所以，再結(jié)合點(diǎn)P在橢圓上以及基本不等式，得到，從而求得，即可得到本題答案.

（1）∵，∴，

又∵，∴，

∵，∴，∴，

又∵，∴，即，

∴，∴，

∴橢圓E的離心率的取值范圍為：；

（2）證明：當(dāng)點(diǎn)C為OP的中點(diǎn)時(shí)，

∵直線PA與直線PB都和圓O相切，

∴都是直角三角形，

∴，∴，

故在橢圓E內(nèi)，存在一點(diǎn)C滿足；

（3）由題意可知，設(shè)點(diǎn)，

∴以為直徑的圓的方程為，與圓O的方程相減得：，

∴過切點(diǎn)的直線方程為：，

令得，，∴；令得，，∴，

∴，

∵點(diǎn)O到直線MN的距離，

∴，

∵點(diǎn)P在橢圓上，

∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

∴，

∴，∴，∴，

∴橢圓E的方程為：．