Question

已知a∈R，函數(shù)f（x）=-ax，x∈[0，+∞）
（1）若f（x）是單調(diào)函數(shù)，求a的取值范圍．
（2）若f（x）的值域為（0，1]，求a的值．

Answer 1

解：（1）f′（x）=-a．當x∈（0，+∞）時，0＜＜1，（2分）
f′（x）的取值范圍是（-a，1-a）．
f（x）為增函數(shù)當且僅當-a≥0，即a≤0； （4分）
f（x）為減函數(shù)當且僅當1-a≤0，即a≥1．
所以，使得f（x）是單調(diào)函數(shù)的a的取值范圍是（-∞，0]∪[1，+∞） （6分）
（2）①若a≤0則由（1）f（x）單增，
f（x）＞f（10）=1，當x∈（0，+∞）時，
f（x）的值域不是（0，1]． （7分）
②若a≥1則由（1）f（x）單調(diào)遞減，其中f（0）=1
（i）若a＞1，則由f（x）=0，
得x=．當x∈（，+∞）時，
f（x）＜f（）=0，f（x）的值域不是（0，1]（8分）
（ii）若a=1，則f（x）=（-x）==0
f（x）的值域是（0，1]（10分）
③若0＜a＜1，則在x∈（0，+∞）內(nèi)，
由f′（x）＜0，得0＜x＜．f（x）在（0，）單調(diào)遞減，
由f′（x）＞0，得x＞，f（x）在（，+∞）單調(diào)遞增．
由f（x）=1，得x=
=×＞，
所以，當x∈（，+∞）時，f（x）＞f（）=1
此時，f（x）的值域不是（0，1]（12分）
綜上，使得f（x）的值域為（0，1]的a的值為1．（13分）
分析：（1）先求出導函數(shù)f′（x）=-a，然后求出當x∈（0，+∞）時f′（x）的取值范圍，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)符號的關系建立不等關系解之即可；
（2）討論a，若a≤0則根據(jù)單調(diào)性求出f（x）的值域進行判定，若a＞1時求出f（x）的值域進行判定，若a=1，則f（x）=（-x）==0，從而f（x）的值域是（0，1]符合題意，若0＜a＜1，則在x∈（0，+∞）內(nèi)，討論函數(shù)的單調(diào)性可求出函數(shù)f（x）的值域進行判定，從而得到結論．
點評：本題主要考查了函數(shù)的最值及其幾何意義，以及函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明，同時考查了分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．