Question

已知二次函數f（x）的對稱軸方程為：x=1，設向量

a

=（sinx，2），

b

=（2sinx，

1

2

），

c

=（ cos²x，1），

d

=（2，1）．
（1）分別求

a

•

b

和

c

•

d

的取值范圍；
（2）當x∈[0，π]時，求不等式f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

）的解集．

Answer 1

考點：平面向量數量積的運算,二次函數的性質

專題：平面向量及應用

分析：（1）根據向量的數量積計算即可．
（2）需要分類討論f（x）的單調性，根據單調性得到不等式，再根據三角函數餓性質得到答案．

解答： 解：（1）∵

a

=（sinx，2），

b

=（2sinx，

1

2

），

c

=（ cos²x，1），

d

=（2，1）．
∴

a

•

b

=2sin²x+1≥1，

c

•

d

=2cos²x+1≥1
（2）∵f（x）圖象關于x=1對稱，
當二次項系數m＞0時，f（x）在（1，+∞）內單調遞增，
∵f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

），
∴（

a

•

b

）＞（

c

•

d

），
即2sin²x+1＞2cos²x+1，
∴（sinx+cosx）（sinx-cox）＞0
又∵x∈[0，π]，
∴sinx-cox＞0
∴x∈(

π

4

，

3π

4

)，
當二次項系數m＜0時，f（x）在（1，+∞）內單調遞減，
∵f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

），
∴（

a

•

b

）＜（

c

•

d

），
即2sin²x+1＜2cos²x+1，
∴（sinx+cosx）（sinx-cox）＞0
又∵x∈[0，π]，
∴sinx-cox＜0
∴x∈[0，

π

4

)∪(

3π

4

，π]
綜上，當m＞0時不等式的解集為(

π

4

，

3π

4

)；當m＜0時不等式的解集為[0，

π

4

)∪(

3π

4

，π]

點評：本題主要考查了向量的數量積，函數的單調性，以及不等式的解法，屬于基礎題．