Question

已知二次函數(shù)f（x）的對稱軸方程為：x=1，設(shè)向量

a

=（sinx，2），

b

=（2sinx，

1

2

），

c

=（ cos²x，1），

d

=（2，1）．
（1）分別求

a

•

b

和

c

•

d

的取值范圍；
（2）當(dāng)x∈[0，π]時(shí)，求不等式f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

）的解集．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)向量的數(shù)量積計(jì)算即可．
（2）需要分類討論f（x）的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性得到不等式，再根據(jù)三角函數(shù)餓性質(zhì)得到答案．

解答： 解：（1）∵

a

=（sinx，2），

b

=（2sinx，

1

2

），

c

=（ cos²x，1），

d

=（2，1）．
∴

a

•

b

=2sin²x+1≥1，

c

•

d

=2cos²x+1≥1
（2）∵f（x）圖象關(guān)于x=1對稱，
當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)m＞0時(shí)，f（x）在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
∵f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

），
∴（

a

•

b

）＞（

c

•

d

），
即2sin²x+1＞2cos²x+1，
∴（sinx+cosx）（sinx-cox）＞0
又∵x∈[0，π]，
∴sinx-cox＞0
∴x∈(

π

4

，

3π

4

)，
當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)m＜0時(shí)，f（x）在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞減，
∵f（

a

•

b

）＞f（

c

•

d

），
∴（

a

•

b

）＜（

c

•

d

），
即2sin²x+1＜2cos²x+1，
∴（sinx+cosx）（sinx-cox）＞0
又∵x∈[0，π]，
∴sinx-cox＜0
∴x∈[0，

π

4

)∪(

3π

4

，π]
綜上，當(dāng)m＞0時(shí)不等式的解集為(

π

4

，

3π

4

)；當(dāng)m＜0時(shí)不等式的解集為[0，

π

4

)∪(

3π

4

，π]

點(diǎn)評：本題主要考查了向量的數(shù)量積，函數(shù)的單調(diào)性，以及不等式的解法，屬于基礎(chǔ)題．