Question

已知關(guān)于x的不等式（kx-k²-4）（x-4）＞0，其中k∈R．
（1）當(dāng)k=1時(shí)，求不等式的解集；
（2）當(dāng)k變化時(shí)，試求不等式的解集A．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）把k=1代入不等式化簡(jiǎn)后，直接求出不等式的解集即可；
（2）先對(duì)k的取值分類討論：當(dāng)k=0時(shí)直接求出解集A，當(dāng)k≠0時(shí)把不等式化為：k(x-

k2+4

k

)(x-4)＞0，再分k＜0和k＞0分兩種情況，當(dāng)k＞0時(shí)需要利用基本不等式，判斷出兩個(gè)根的大小關(guān)系，此時(shí)還對(duì)k進(jìn)行分類討論，再分別求出解集A．

解答： 解：（1）當(dāng)k=1時(shí)，不等式為（x-5）•（x-4）＞0，解得x＞5或x＜4，
即解集是（-∞，4）∪（5，+∞）（4分）
（2）當(dāng)k變化時(shí)，可對(duì)k的取值分類討論：
①當(dāng)k=0時(shí)，不等式為：-4（x-4）＞0，解得x＜4，即A=（-∞，4）（6分）
當(dāng)k≠0時(shí)，不等式可化為：k(x-

k2+4

k

)(x-4)＞0
②當(dāng)k＜0時(shí)，不等式為(x-

k2+4

k

)(x-4)＜0，且

k2+4

k

＜4，
解得：

k2+4

k

＜x＜4，即A=(

k2+4

k

，4)         （8分）
③當(dāng)k＞0時(shí)，不等式為(x-

k2+4

k

)(x-4)＞0，
又

k2+4

k

=k+

4

k

≥4，當(dāng)且僅當(dāng)k=

4

k

，即k=2時(shí)取等號(hào)，
所以當(dāng)k=2時(shí)，不等式為（x-4）²＞0，解得x≠4，則A=（-∞，4）∪（4，+∞）（10分）
當(dāng)k＞0且k≠2時(shí)，

k2+4

k

＞4，則A═（-∞，4）∪（

k2+4

k

，+∞）（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查一元二不等式的解法，基本不等式，以及分類條論思想的應(yīng)用，注意分類討論的標(biāo)準(zhǔn)，屬于中檔題．