Question

【題目】已知在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1B⊥平面ABC，∠ABC=90°，B1B=AB=2BC=4，D、E分別是B1C1 ， A1A的中點．
（1）求證：A1D∥平面B1CE；
（2）設M是的中點，N在棱AB上，且BN=1，P是棱AC上的動點，直線NP與平面MNC所成角為θ，試問：θ的正弦值存在最大值嗎？若存在，請求出 的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：證法一（幾何法）：

連結BC1，與B1C交于點O，連結EO，DO，

在△B1BC1中，DO B1B，

在四邊形B1BA1A中，A1E B1B，

∴A1E DO，∴四邊形A1EOD是平行四邊形，∴A1D∥EO

∵A1D平面B1CE，EO平面B1CE，

∴A1D∥平面B1CE．

證法二（向量法）：

如圖，建立空間直角坐標系B﹣xyz，

由已知得A（4，0，0），C（0，2，0），B1（0，0，4），C1（0，2，4），D（0，1，4），E（4，0，2），

則 =（﹣4，1，0）， =（0，2，﹣4）， =（4，0，﹣2），

設平面B1CE的一個法向量 =（x，y，z），

則 ，取x=1，得 =（1，4，2），

∵ =﹣4+4=0，且A1D平面B1CE，

∴A1D∥平面B1CE．

（2）解：設存在符合題意的點P．

如圖，建立空間直角坐標系B﹣xyz，

由已知得A（4，0，0），C（0，2，0），M（2，0，3），N（1，0，0），

則 =（﹣1，0，﹣3）， =（﹣1，2，0）， =（﹣4，2，0），

設平面MNC的一個法向量 =（x，y，z），

則 ，取x=6，得 =（6，3，﹣2），

設 = ，（0≤λ≤1），則 = =（3﹣4λ，2λ，0），

由題設得sinθ=|cos＜ ＞|= = = ，

設t=1﹣λ（0≤λ≤1），則λ=1﹣t，且0≤t≤1，

∴sinθ= ，

當t=0時，sinθ=0，

當0＜t≤1時，sinθ= = ≤ = ．

∴當且僅當 ，即t= 時，sinθ取得最大值 ，此時λ= ．

∴存在符合題意的點P，且 = ．

【解析】（1）法一（幾何法）：連結BC1 ， 與B1C交于點O，連結EO，DO，推導出四邊形A1EOD是平行四邊形，從而A1D∥EO，由此能證明A1D∥平面B1CE． 法二（向量法）：建立空間直角坐標系B﹣xyz，利用向量法能證明A1D∥平面B1CE．（2）建立空間直角坐標系B﹣xyz，利用向量法求出存在符合題意的點P，且 = ．
【考點精析】關于本題考查的直線與平面平行的判定和空間角的異面直線所成的角，需要了解平面外一條直線與此平面內的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行；已知為兩異面直線，A，C與B，D分別是上的任意兩點，所成的角為，則才能得出正確答案．