Question

已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸的正半軸上，點(diǎn)A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）C（x₃，y₃）在拋物線上，若△ABC的重心恰為拋物線的焦點(diǎn)F，且|FA|+|FB|+|FC|=6，則拋物線的方程為

x²=4y

．

Answer 1

分析：根據(jù)△ABC的重心恰為拋物線的焦點(diǎn)F，則可知y₁+y₂+y₃=

3p

2

，再根據(jù)拋物線定義可分別表示出|FA|，|FB|和|FC|，進(jìn)而根據(jù)|FA|+|FB|+|FC|=6，求得p，則拋物線方程可得．

解答：解：設(shè)拋物線的方程為x²=2py，（p＞0）．
由△ABC的重心恰為拋物線的焦點(diǎn)F（0，

p

2

），得y₁+y₂+y₃=3×

p

2

，
根據(jù)拋物線的定義可得，|FA|=y₁+

p

2

，|FB|=y₂+

p

2

，|FC|=y₃+

p

2

，
又|FA|+|FB|+|FC|=6，
∴y₁+y₂+y₃+

3p

2

=6，即2×

3p

2

=6
∴p=2，
∴拋物線方程為x²=4y．
故答案為：x²=4y．

點(diǎn)評：本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線定義的運(yùn)用．涉及了三角形的重心，考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力．