已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸的正半軸上,點(diǎn)A(x1,y1)B(x2,y2)C(x3,y3)在拋物線上,若△ABC的重心恰為拋物線的焦點(diǎn)F,且|FA|+|FB|+|FC|=6,則拋物線的方程為
x2=4y
x2=4y
分析:根據(jù)△ABC的重心恰為拋物線的焦點(diǎn)F,則可知y1+y2+y3=
3p
2
,再根據(jù)拋物線定義可分別表示出|FA|,|FB|和|FC|,進(jìn)而根據(jù)|FA|+|FB|+|FC|=6,求得p,則拋物線方程可得.
解答:解:設(shè)拋物線的方程為x2=2py,(p>0).
由△ABC的重心恰為拋物線的焦點(diǎn)F(0,
p
2
),得y1+y2+y3=3×
p
2
,
根據(jù)拋物線的定義可得,|FA|=y1+
p
2
,|FB|=y2+
p
2
,|FC|=y3+
p
2
,
又|FA|+|FB|+|FC|=6,
∴y1+y2+y3+
3p
2
=6,即2×
3p
2
=6
∴p=2,
∴拋物線方程為x2=4y.
故答案為:x2=4y.
點(diǎn)評:本題主要考查了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線定義的運(yùn)用.涉及了三角形的重心,考查了學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識解決問題的能力.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:天驕之路中學(xué)系列 讀想用 高二數(shù)學(xué)(上) 題型:044

已知拋物線C的對稱軸與y軸平行,頂點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為5,若將拋物線C向上平移3個單位,則在x軸上截得的線段為原拋物線C在x軸上截得的線段的一半;若將拋物線C向左平移1個單位,則所得拋物線過原點(diǎn),求拋物線C的方程.

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