Question

【題目】已知數(shù)列滿足:.

(1)若，求數(shù)列的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列的前項和為，且試確定的值，使得數(shù)列為等差數(shù)列；

(3)將數(shù)列中的部分項按原來順序構(gòu)成新數(shù)列，且，求證:存在無數(shù)個滿足條件的無窮等比數(shù)列.

Answer 1

【答案】（1）；（2），數(shù)列為等差數(shù)列；

（3）詳見解析

【解析】

（1）由，兩邊平方化簡可得，則數(shù)列是以1為首項，以4為公差的等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式即可求得，即可求得數(shù)列的通項公式；

（2）由（1）可得化簡整理，得利用等差數(shù)列的通項公式可得：，即，當時，，化為，取即可得出；

（3）令等比數(shù)列的公比，則，設(shè)，可得，．因為為正整數(shù)，可得數(shù)列是數(shù)列中包含的無窮等比數(shù)列，進而證明結(jié)論．

解：（1），則，

數(shù)列是以1為首項，以4為公差的等差數(shù)列，則，

，

數(shù)列的通項公式；

（2）由（1）可得，

，，

，

數(shù)列是等差數(shù)列，首項為，公差為1．，

，

當時，，化為，

若數(shù)列為等差數(shù)列，則上式對于時也成立，

，解得．為等差數(shù)列．

，數(shù)列為等差數(shù)列；

（3）證明：由（1）可得．

令等比數(shù)列的公比，則，

設(shè)，因為，

所以，

，

因為為正整數(shù)，

所以數(shù)列是數(shù)列中包含的無窮等比數(shù)列，

因為公比有無數(shù)個不同的取值，對應著不同的等比數(shù)列，

故無窮等比數(shù)列有無數(shù)個．