Question

定義在R上的函數(shù)，對(duì)任意x₁，x₂∈R，都有f(

x1+x2

2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]，則稱函數(shù)f（x）是R上的凸函數(shù)．已知二次函數(shù)f（x）=ax²+x（a∈R，a≠0）．
（1）求證：當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）是凸函數(shù)；
（2）對(duì)任意x∈（0，1]，f（x）≥-1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用作差法證明，即要證：f(

x1+x2

2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]，只要證：f(

x1+x2

2

)-

1

2

[f(x1)+f(x2)]≥0；
（2）首先根據(jù)自變量的范圍進(jìn)行分離常數(shù)，然后問題就轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值的問題，從而求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：（1）證明：f(

x1+x2

2

)-

1

2

[f(x1)+f(x2)]
=a(

x1+x2

2

)2+

x1+x2

2

-

1

2

(a

x

2 1

+x1+a

x

2 2

+x2)
=-a(

x1-x2

2

)2，
又a＜0，故f(

x1+x2

2

)≥

1

2

[f(x1)+f(x2)]，
所以當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）是凸函數(shù)，命題得證．----------（5分）
（2）解：∵對(duì)任意x∈（0，1]，f（x）≥-1恒成立．
∴a≥-(

1

x

)2-

1

x

在（0，1]上恒成立，
即a≥[-(

1

x

)2-

1

x

] max=2則a≥-2，------（8分）
又a≠0，故a≥-2且a≠0．----------（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了凸函數(shù)的證明，以及函數(shù)恒成立問題和二次函數(shù)的最值，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．