已知棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是棱CD,AD的中點.
(1)求證:四邊形MNA1C1是梯形;
(2)求證:∠DNM=∠D1A1C1
分析:(1)欲證四邊形MN A1C1是梯形,只須證其一組對邊平行且不等即可,連接AC,在△ACD中,M,N分別是棱CD,AD的中點,根據(jù)三角形的中位線定理即可證得;
(2)根據(jù)平行公理可知MN∥A1C1,又∵ND∥A1D1,從而有∠DNM與∠D1A1C1相等或互補(bǔ),而∠DNM與∠D1A1C1均是直角三角形的銳角,故可證出∠DNM=∠D1A1C1
解答:證明:(1)連接AC,在△ACD中,
∵M(jìn),N分別是棱CD,AD的中點,
∴MN是三角形的中位線,
∴MN∥AC,MN=
1
2
AC.由正方體的性質(zhì)得:AC∥A1C1,AC=A1C1
∴MN∥A1C1,且MN=
1
2
 A1C1,即MN≠A1C1
∴四邊形MN A1C1是梯形.
(2)由(1)可知MN∥A1C1,又∵ND∥A1D1,
∴∠DNM與∠D1A1C1相等或互補(bǔ),而∠DNM與∠D1A1C1均是直角三角形的銳角,
∴∠DNM=∠D1A1C1
點評:本小題主要考查棱柱的結(jié)構(gòu)特征、空間位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力,考查空間想象能力.屬于基礎(chǔ)題.
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