Question

【題目】已知數(shù)列{an}中，a1＝1，an＞0，前n項(xiàng)和為Sn，若（n∈N*，且n≥2）．

（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（2）記，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn．

Answer 1

【答案】(1) an＝2n﹣1；(2) Tn．

【解析】

（1）根據(jù)題意，有an＝Sn﹣Sn﹣1，結(jié)合分析可得1，則數(shù)列{}是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得1+（n﹣1）＝n，則Sn＝n2，據(jù)此分析可得答案；

（2）由（1）的結(jié)論可得cn＝（2n﹣1）×22n﹣1；進(jìn)而可得Tn＝1×2+3×23+5×25+……+（2n﹣1）×22n﹣1，由錯(cuò)位相減法分析可得答案．

（1）數(shù)列{an}中，an＝Sn﹣Sn﹣1，（n∈N*，且n≥2）①

，（n∈N*，且n≥2）②

①÷②可得：1，

則數(shù)列{}是以1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，

則1+（n﹣1）＝n，

則Sn＝n2，

當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1，

當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1，

a1＝1也符合該式，

則an＝2n﹣1；

（2）有（1）的結(jié)論，an＝2n﹣1，

則cn＝（2n﹣1）×22n﹣1；

則Tn＝1×2+3×23+5×25+……+（2n﹣1）×22n﹣1，③；

則4Tn＝1×23+3×25+5×27+……+（2n﹣1）×22n+1，④；

③﹣④可得：﹣3Tn＝2+2（23+25+……+22n﹣1）﹣（2n﹣1）×22n+1（2n）×22n+1，

變形可得：Tn．