Question

如圖,已知曲線,曲線,P是平面上一點(diǎn),若存在過點(diǎn)P的直線與都有公共點(diǎn),則稱P為“C₁—C₂型點(diǎn)”.

(1)在正確證明的左焦點(diǎn)是“C₁—C₂型點(diǎn)”時(shí),要使用一條過該焦點(diǎn)的直線,試寫出一條這樣的直線的方程(不要求驗(yàn)證);
(2)設(shè)直線與有公共點(diǎn),求證,進(jìn)而證明原點(diǎn)不是“C₁—C₂型點(diǎn)”;
(3)求證:圓內(nèi)的點(diǎn)都不是“C₁—C₂型點(diǎn)”.

Answer 1

(1) C₁的左焦點(diǎn)為“C₁-C₂型點(diǎn)”,且直線可以為;
(2)直線至多與曲線C₁和C₂中的一條有交點(diǎn),即原點(diǎn)不是“C₁-C₂型點(diǎn)”.
(3)直線若與圓內(nèi)有交點(diǎn),則不可能同時(shí)與曲線C₁和C₂有交點(diǎn),
即圓內(nèi)的點(diǎn)都不是“C₁-C₂型點(diǎn)”.

試題分析：
思路分析：(1)緊扣“C₁-C₂型點(diǎn)”的定義，確定C₁的左焦點(diǎn)為“C₁-C₂型點(diǎn)”,且直線可以為;
(2)通過研究直線與C₂有交點(diǎn)的條件，分別得到和 ，不可能同時(shí)成立，得到結(jié)論：直線至多與曲線C₁和C₂中的一條有交點(diǎn),即原點(diǎn)不是“C₁-C₂型點(diǎn)”.
(3)顯然過圓內(nèi)一點(diǎn)的直線若與曲線C₁有交點(diǎn),則斜率必存在;
根據(jù)對稱性,不妨設(shè)直線斜率存在且與曲線C₂交于點(diǎn),則
 
根據(jù)直線與圓內(nèi)部有交點(diǎn),得到 
化簡得,............①
再根據(jù)直線與曲線C₁有交點(diǎn), 由方程組
 
化簡得,.....②
由①②得, 
但此時(shí),因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240204007241227.png" style="vertical-align:middle;" />,即①式不成立;
當(dāng)時(shí),①式也不成立 ，得出結(jié)論。
解：(1)C₁的左焦點(diǎn)為,過F的直線與C₁交于,與C₂交于,故C₁的左焦點(diǎn)為“C₁-C₂型點(diǎn)”,且直線可以為;
(2)直線與C₂有交點(diǎn),
則,若方程組有解,則必須;
直線與C₂有交點(diǎn),則
,若方程組有解,則必須 
故直線至多與曲線C₁和C₂中的一條有交點(diǎn),即原點(diǎn)不是“C₁-C₂型點(diǎn)”.
(3)顯然過圓內(nèi)一點(diǎn)的直線若與曲線C₁有交點(diǎn),則斜率必存在;
根據(jù)對稱性,不妨設(shè)直線斜率存在且與曲線C₂交于點(diǎn),則
 
直線與圓內(nèi)部有交點(diǎn),故 
化簡得,............①
若直線與曲線C₁有交點(diǎn),則
 
 
化簡得,.....②
由①②得, 
但此時(shí),因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240204007241227.png" style="vertical-align:middle;" />,即①式不成立;
當(dāng)時(shí),①式也不成立
綜上,直線若與圓內(nèi)有交點(diǎn),則不可能同時(shí)與曲線C₁和C₂有交點(diǎn),
即圓內(nèi)的點(diǎn)都不是“C₁-C₂型點(diǎn)”.
點(diǎn)評：難題，本題綜合性較強(qiáng)，綜合考查直線與圓、雙曲線的位置關(guān)系以及不等式問題。從思路方面講，要緊扣“C₁-C₂型點(diǎn)”的定義，研究方程組解的情況。