Question

（2009•大連一模）平面內(nèi)動點M（x，y），

a

=（x-2，

2

y），

b

=（x+2，

2

y）且

a

•

b

=0
（Ⅰ）求點M的軌跡E的方程；
（Ⅱ）設直線：l：y=kx+m（k＞0，m≠0）分別交x、y軸于點A、B，交曲線E于點C、D，且

CA

=

BD

①求k的值；
②若點N（

2

，1），求△NCD面積取得最大時直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）設動點M（x，y）．根據(jù)數(shù)量積運算即可得出；
（II）①在l：y=kx+m中分別令x=0，y=0可得B，A的坐標，設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），把直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立得到判別式△及根與系數(shù)的關系，利用

CA

=

BD

即可求得k的值．②根據(jù)弦長公式和點到直線的距離公式即可得到△NCD的面積，再利用基本不等式的性質即可得出．

解答：解：（Ⅰ）設動點M（x，y）．
∵

a

•

b

=0，∴(x-2)(x+2)+(

2

y)2=0，
化為

x2

4

+

y2

2

=1，即為點M的軌跡E的方程．
（Ⅱ）①在l：y=kx+m中分別令x=0，y=0可得B（0，m），A(-

m

k

，0)．
設C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
由

y=kx+m x2+2y2=4

得到（1+2k²）x²+4mkx+2m²-4=0，
△=16m²k²-4（1+2k²）（2m²-4）=32k²-8m²+16，
x1+x2=-

4mk

1+2k2

，x1x2=

2m2-4

1+2k2

．
∵

CA

=

BD

，∴-

m

k

-x1=x2，∴-

4mk

1+2k2

=-

m

k

，
又m≠0，化為4k²=1+2k²，k2=

1

2

，
∵k＞0，∴k=

2

2

．
②|CD|=

1+k2

|x1-x2|=

1+ 1 2

(x1+x2)2-4x1x2

=

3 2

2m2-4(m2-2)

=

3(4-m2)

．
點N到CD的距離d=

| 2 k-1+m|

1+k2

=

6

3

|m|．
∴S△NCD=

1

2

|CD|•d=

1

2

•

3(4-m2)

•

6

3

|m|=

2

2

4-m2

|m|=

2

2

(4-m2)m2

≤

2

2

(

4-m2+m2

2

)=

2

．
當且僅當4-m²=m²時等號成立，即m²=2，解得m=±

2

．，此時△＞0，
所以直線的方程為l：y=

2

2

x±

2

．

點評：本題綜合考查了直線與橢圓相交問題轉化為直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立得到判別式△及根與系數(shù)的關系，根據(jù)向量相等表示坐標之間的關系，根據(jù)弦長公式和點到直線的距離公式得到△的面積，利用基本不等式的性質求最值等知識與方法．需要較強的推理能力和計算能力及模式識別能力．