Question

已知集合A={x|x²-x≤0，x∈R}，設(shè)函數(shù)f（x）=2 x2-2x+2，x∈A的值域為B．
（1）求集合（∁_RA）∩B；
（2）若C={x|1+m≤x≤2m}，且集合C是（∁_RA）∩B的真子集，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點：交、并、補集的混合運算,集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,集合

分析：先求出x²-x≤0的解集A，再利用換元法、二次函數(shù)、指數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)f（x）的值域B，
（1）由補集、交集的運算求出∁_RA和（∁_RA）∩B；
（2）由（1）和真子集的定義列出不等式組，注意空集的情況，再求出實數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：由x²-x≤0得0≤x≤1，則集合A={x|0≤x≤1}=[0，1]，
設(shè)t=x²-2x+2=（x-1）²+1≥1，則2^t≥2¹=2，
所以f（x）=2 x2-2x+2≥2，即函數(shù)的值域B=[2，+∞），
（1）因為∁_RA=（-∞，0）∪（1，+∞），
所以（∁_RA）∩B=[2，+∞）；
（2）因為C={x|1+m≤x≤2m}，且集合C是（∁_RA）∩B的真子集，
所以有C=∅或C≠∅兩種情況，
則1+m＞2m或

1+m≤2m 1+m≥2

，解得m＜1或m≥1，即m∈R，
所以實數(shù)m的取值范圍是R．

點評：本題主要考查交、補集的混合運算，集合之間的關(guān)系，同時要注意空集是任何非空集合的子集．