Question

已知直線l的方程為y=mx+2m，曲線C的方程為y=

4-x2

，直線l與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)直線l與曲線C圍成的平面區(qū)域?yàn)镸，記Ω={(x，y)|

y≥0 y≤ 4-x2

}，向區(qū)域Ω上隨機(jī)投一點(diǎn)D，點(diǎn)D落在區(qū)域M內(nèi)的概率為P（M）．（1）若m=1，求P（M）；
（2）若P(M)∈[

π-2

2π

，1]，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：軌跡方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）當(dāng)m=1時(shí)，直線l的方程為：y=x+2．曲線C的方程為x²+y²=4（y≥0），聯(lián)立解得

x=-2 y=0

或

x=0 y=2

．即可得出直線l與曲線C圍成的平面區(qū)域?yàn)镸的面積S₁=

1

4

×π×22-

1

2

×22，區(qū)域Ω的面積S₂=

1

2

×π×22．利用古典概型的概率計(jì)算公式即可得出．
（2）直線l過(guò)定點(diǎn)（-2，0），由（1）知，當(dāng)直線l的斜率m=1時(shí)，P(M)=

π-2

π

；當(dāng)直線l的斜率m=0時(shí)，P（M）=1．

解答： 解：（1）當(dāng)m=1時(shí)，直線l的方程為：y=x+2．
曲線C的方程為x²+y²=4（y≥0），聯(lián)立

y=x+2 x2+y2=4(y≥0)

，解得

x=-2 y=0

或

x=0 y=2

．
∴直線l與曲線C圍成的平面區(qū)域?yàn)镸的面積S₁=

1

4

×π×22-

1

2

×22=π-2，
區(qū)域Ω的面積S₂=

1

2

×π×22=2π．
則可得到P(M)=

π-2

2π

．
（2）直線l過(guò)定點(diǎn)（-2，0），由（1）知，當(dāng)直線l的斜率m=1時(shí)，P(M)=

π-2

π

；
當(dāng)直線l的斜率m=0時(shí)，P（M）=1．
∵P(M)∈[

π-2

2π

，1]，∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[0，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與半圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立、直線的斜率、古典概型的概率計(jì)算公式，考查了數(shù)形結(jié)合的思想方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．