Question

已知n∈N^*，設(shè)函數(shù)f_n（x）=1-x+

x2

2

-

x3

3

+…-

x2n-1

2n-1

，x∈R．
（1）求函數(shù)g（x）=x²•f₁（x），x∈[0，2]的最值．（其中f₁（x）=1-x）；
（2）求函數(shù)y=f₂（x）-kx（k∈R）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）先求出函數(shù)g（x）的導(dǎo)數(shù)，從而得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而求出函數(shù)的最值，
（2）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論k的范圍，進而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

解答： 解：（1）g（x）=x²（1-x），
∴g′（x）=2x-3x²，
令g（x）=0，可得：x=0，x=

2

3

，
∴函數(shù)g（x）在[0，

2

3

]遞增，在（

2

3

，2]遞減，
又g（0）=0，g（

2

3

）=

4

27

，g（2）=-4，
∴g（x）_max=g（

2

3

）=

4

27，

g（x）_min=g（2）=-4；
（2）∵y=f₂（x）-kx=1-x+

x2

2

-

x3

3

-kx，
∴y′=-1+x-x²-k=-（x²-x+k+1），
方程x²-x+k+1=0的判別式△=-3-4k，
當k≥-

3

4

時，△≤0，y′=-（x²-x+k+10≤0，
故函數(shù)y=f₂（x）-kx在R上單調(diào)遞減，
當k＜-

3

4

時，方程x²-x+k+1=0的兩個根為：
x₁=

1- -3-4k

2

，x₂=

1+ -3-4k

2

，
則x∈（-∞，x₁）時，y′＜0，x∈（x₁，x₂）時，y′＞0，x∈（x₂，+∞）時，y′＜0，
故函數(shù)y=f₂（x）-kx（k∈R）的單調(diào)遞減區(qū)間為（-∞，

1- -3-4k

2

）和（

1+ -3-4k

2

，+∞），
單調(diào)遞增區(qū)間為（

1- -3-4k

2

，

1+ -3-4k

2

）．

點評：本題考察了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，滲透了分類討論思想，是一道綜合題．