Question

如圖，空間四邊形OABC各邊以及AC，BO的長(zhǎng)都是1，點(diǎn)D是邊OA，BC的中點(diǎn)，連接DE．
（1）計(jì)算DE的長(zhǎng)；
（2）求點(diǎn)O到面ABC的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連結(jié)AE，OE，由已知得OE=AE=

3

2

，DE⊥AO，由此能求出DE．
（2）在面AOE中，作OF⊥AE，交AE于F，則OF⊥面ABC，OF的長(zhǎng)即為點(diǎn)O到面ABC的距離．由此能求出點(diǎn)O到平面ABC的距離．

解答： 解：（1）連結(jié)AE，OE，
∵空間四邊形OABC各邊以及AC，BO的長(zhǎng)都是1，
D，E是OA，BC的中點(diǎn)，
∴OE=AE=

3

2

，∴△OEA是等腰三角形．
∴DE⊥AO，
∴DE=

OE2-OD2

=

3 4 - 1 4

=

2

2

．
（2）∵AE⊥BC，OE⊥BC，AE∩OE=E，
∴BC⊥面AOE，∵BC?平面ABC，∴面ABC⊥面AOE．
在面AOE中，作OF⊥AE，交AE于F，
則OF⊥面ABC，
∴OF的長(zhǎng)即為點(diǎn)O到面ABC的距離．
∵AOE是等腰三角形，DE是底AO上的高，OF是AE邊上的高，
由面積公式，得：

1

2

AO•DE=

1

2

AE•OF，
即

1

2

×1×

2

2

=

1

2

×

3

2

×OF，
解得OF=

6

3

，
∴點(diǎn)O到平面ABC的距離是

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查線段長(zhǎng)的求法，考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．