Question

已知函數(shù)f(x)=-2

3

sin2x+sin2x+

3

．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在[-

π

2

，0]上的最值及取得最值時自變量x的取值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）首先通過三角恒等變換把函數(shù)關(guān)系式變形成正弦型函數(shù)，進一步利用公式求出函數(shù)的周期和單調(diào)區(qū)間．
（Ⅱ）直接利用函數(shù)的定義域，利用整體思想求出函數(shù)的最值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f(x)=

3

(1-2sin2x)+sin2x=

3

cos2x+sin2x=2sin(2x+

π

3

)，
∴f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
由2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，(k∈Z)，
得kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，(k∈Z)，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，(k∈Z)．
（Ⅱ）∵-

π

2

≤x≤0，∴-

2π

3

≤2x+

π

3

≤

π

3

，
∴當2x+

π

3

=-

π

2

，即x=-

5π

12

時，f（x）_min=-2，
∴當2x+

π

3

=

π

3

，即x=0時，f(x)max=

3

．

點評：本題考查的知識要點：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦型函數(shù)的周期的求法，函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的應(yīng)用，利用函數(shù)的定義域求函數(shù)的值域．屬于基礎(chǔ)題型．