Question

14．定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x）滿足下列條件：
①對(duì)任意x，y∈（-1，1），都有f（x）+f（y）=f（$\frac{x+y}{1+x+y}$）；
②當(dāng)x∈（-1，0）時(shí)，有f（x）＞0，求證：
（1）f（x）是奇函數(shù)；
（2）f（x）是單調(diào)遞減函數(shù)；
（3）f（$\frac{1}{11}$）+f（$\frac{1}{19}$）+…+f（$\frac{1}{{{n^2}+5n+5}}$）＞f（$\frac{1}{3}$），其中n∈N^*．

Answer 1

分析 （1）求出f（0）=0，利用函數(shù)的奇偶性的定義證明即可．
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可．
（3）化簡(jiǎn)通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)法求和，然后分析$f（-\frac{1}{n+3}）＞0$，即可證明結(jié)論．

解答 證明：（1）令x=y=0代入$f（x）+f（y）=f（\frac{x+y}{1+xy}）$，得到f（0）=0．
令y=-x，得f（x）+f（-x）=f（0）=0，即f（-x）=-f（x）．
∴f（x）在（-1，1）上是奇函數(shù)．
（2）設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，則$f（{x_1}）-f（{x_2}）=f（{x_1}）+f（-{x_2}）=f（\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{1-{x_1}{x_2}}}）$
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴|x₁x₂|=|x₁||x₂|＜1，-1＜x₁x₂＜1．
又x₁-x₂＜0，∴$\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{1-{x_1}{x_2}}}＜0$且$\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{1-{x_1}{x_2}}}+1=\frac{{（1+{x_1}）（1+{x_2}）}}{{1-{x_1}{x_2}}}＞0$，
∴$-1＜\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{1-{x_1}{x_2}}}＜0$，∴$f（\frac{{{x_1}-{x_2}}}{{1-{x_1}{x_2}}}）＞0$，∴f（x₁）-f（x₂）＜0，∴f（x₁）＜f（x₂）
所以f（x）在（-1，1）上是單調(diào)遞減函數(shù)．
（3）$f（\frac{1}{{{n^2}+5n+5}}）=f[\frac{（n+3）-（n+2）}{（n+2）（n+3）-1}]=f[\frac{{\frac{1}{n+2}+（-\frac{1}{n+3}）}}{{1+\frac{1}{n+2}（-\frac{1}{n+3}）}}]$=$f（\frac{1}{n+2}）+f（-\frac{1}{n+3}）=f（\frac{1}{n+2}）-f（\frac{1}{n+3}）$
∴$f（\frac{1}{11}）+f（\frac{1}{19}）+…+f（\frac{1}{{{n^2}+5n+5}}）$=$[f（\frac{1}{3}）-f（\frac{1}{4}）]+[f（\frac{1}{4}）-f（\frac{1}{5}）]+…+[f（\frac{1}{n+2}）-f（\frac{1}{n+3}）]$=$f（\frac{1}{3}）-f（\frac{1}{n+3}）=f（\frac{1}{3}）+f（-\frac{1}{n+3}）$
∵$0＜\frac{1}{n+3}＜1$，∴$f（-\frac{1}{n+3}）＞0$，∴$f（\frac{1}{3}）+f（-\frac{1}{n+3}）＞f（\frac{1}{3}）$．
故$f（\frac{1}{11}）+f（\frac{1}{19}）+…+f（\frac{1}{{{n^2}+5n+5}}）＞f（\frac{1}{3}）$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查抽象函數(shù)的應(yīng)用，數(shù)列求和，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．