14.已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(x∈R),(a,b為實(shí)數(shù)).
(1)若f(1)=0,且函數(shù)f(x)的值域?yàn)閇0,+∞),求f(x)的表達(dá)式;
(2)在(1)的條件下,若關(guān)于x方程|f(x+1)-1|=m|x-1|只有一個(gè)實(shí)數(shù)解,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)在(1)的條件下,求函數(shù)h(x)=2f(x+1)+x|x-m|+2m最小值.
分析 (1)利用f(1)=0得到a+b+1=0,f(x)的值域?yàn)閇0,+∞),推出△=b2-4a=0,求出a,b,即可得到函數(shù)的解析式.
(2)方程|f(x+1)-1|=g(x),化為|x-1|(|x+1|-m)=0,原方程只有一解,即方程|x+1|=m,有且僅有一個(gè)等于1的解或無解,求解即可.
(3)①當(dāng)x≥m時(shí),h(x)=3x2-mx+2m,通過m≥0,m<0,求出最小值,②當(dāng)x≤m時(shí),f(x)=x2+mx+2m
通過m≥0,m<0,求出最小值即可.
解答 解:(1)顯然a≠0∵f(1)=0∴a+b+1=0-----------(1分)
∵x∈R,且f(x)的值域?yàn)閇0,+∞)
∴△=b2-4a=0---------(3分)
由\left\{\begin{array}{l}a+b+1=0\\{b^2}-4a=0\end{array}\right.⇒\left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-2\end{array}\right.\;\;\;∴f(x)={x^2}-2x+1----------(5分)
(2)方程|f(x+1)-1|=g(x),即|x2-1|=m|x-1|,變形得|x-1|(|x+1|-m)=0,
顯然,x=1已是該方程的根,…(6分)
欲原方程只有一解,即要求方程|x+1|=m,有且僅有一個(gè)等于1的解或無解,…(7分)
解得m<0.…(9分)
(3)①當(dāng)x≥m時(shí),h(x)=3x2-mx+2m
( I)如果m≥0,h{(x)_{min}}=h(m)=2{m^2}+2m; …(10分)
( II)如果m<0,h{(x)_{min}}=h(\frac{m}{6})=2m-\frac{m^2}{12}; …(11分)
②當(dāng)x≤m時(shí),f(x)=x2+mx+2m
( I)如果m≥0,h{(x)_{min}}=h(-\frac{m}{2})=-\frac{m^2}{4}+2m; …(12分)
( II)如果m<0,h{(x)_{min}}=h(m)=2{m^2}+2m; …(13分)
由于2m2+2m-(-\frac{m^2}{4}+2m)≥02m-\frac{m^2}{12}-(2m2+2m)≤0…(15分)
所以h{(x)_{min}}=\left\{\begin{array}{l}2m-\frac{m^2}{4},m≥0\\ 2m-\frac{m^2}{12},m<0.\end{array}\right.…(16分)
點(diǎn)評(píng) 本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用,考查分類討論思想的應(yīng)用,轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用,考查分析問題解決問題的能力.