Question

給出四個(gè)等式：        1＝1

1－4＝－(1＋2)

1－4＋9＝1＋2＋3

1－4＋9－16＝－(1＋2＋3＋4)

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（1）寫(xiě)出第5,6個(gè)等式，并猜測(cè)第n(n∈N^*)個(gè)等式

（2）用數(shù)學(xué)歸納法證明你猜測(cè)的等式．

Answer 1

 [解析]　

第5行  1-4+9-16+25=1+2+3+4+5-----------------------------------------2分

第6行  1-4+9-16+25-36=-（1+2+3+4+5+6）-------------------------------4分

第n行等式為：

1²－2²＋3²－4²＋…＋(－1)^n－1n²＝(－1)^n－1 ·(1＋2＋3＋…＋n)．-------------6分

證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1²＝1，

右邊＝(－1)⁰×＝1，左邊＝右邊，等式成立．--------------------8分

(2)假設(shè)n＝k(k∈N^*)時(shí)，等式成立，即1²－2²＋3²－4²＋…＋(－1)^k－1k²＝(－1)^k－1·.

則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，

1²－2²＋3²－4²＋…＋(－1)^k－1k²＋(－1)^k(k＋1)²

＝(－1)^k－1·＋(－1)^k(k＋1)²

＝(－1)^k(k＋1)·

＝(－1)^k·.

∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式也成立

根據(jù)(1)、(2)可知，對(duì)于任何n∈N^*等式均成立．--------------------------12分