Question

設(shè)橢圓D：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，上頂點(diǎn)為A，在c軸負(fù)半軸上有一點(diǎn)B，滿足

BF1

=

F1F2

，且AB⊥AF₂．
（Ⅰ）求橢圓D的離心率；
（Ⅱ）若過A、B、F₂三點(diǎn)的圓C恰好與直線l：x-

3

y-3=0相切，求圓C方程及橢圓D的方程；
（Ⅲ）若過點(diǎn)T（3，0）的直線與橢圓D相交于兩點(diǎn)M、N，設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，且滿足

OM

+

ON

=t

OP

（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求實(shí)數(shù)t取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設(shè)B（x₀，0），由F₂（c，0），A（0，b），

AF2

⊥

AB

，得x0=-

b2

c

，由

BF1

=

F1F2

，推導(dǎo)出a=2c，由此能求出橢圓D的離心率．
（Ⅱ）由F₂（

1

2

a，0），B（-

3

2

a，0），由已知條件得

|- 1 2 a-3|

2

=a，由此能求出圓C方程和橢圓D方程．
（Ⅲ）設(shè)直線MN的方程為：y=k（x-3），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x，y），由

y=k(x-3) x2 4 + y2 3 =1

，得（4k²+3）x²-24k²x+36k²-12=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理結(jié)合已知條件能求出實(shí)數(shù)t取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)B（x₀，0），由F₂（c，0），A（0，b）
知

AF2

=（c，-b），

AB

=（x₀，-b），
∵

AF2

⊥

AB

，∴cx0+b2=0，x0=-

b2

c

，
由于

BF1

=

F1F2

，即F₁為BF₂中點(diǎn)．
故-

b2

c

+c=-2c，∴b²=3c²=a²-c²，
∴a=2c，∴橢圓D的離心率e=

c

a

=

1

2

．…（3分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知F₂（

1

2

a，0），B（-

3

2

a，0），
△ABF₂的外接圓圓心為C（-

1

2

a，0），半徑r=|F₁A|=a，
∴

|- 1 2 a-3|

2

=a，解得a=2，∴c=1，b=

3

，…（6分）
所求圓C方程為（x+1）²+y²=4，橢圓D方程為

x2

4

+

y2

3

=1．…（7分）
（Ⅲ）設(shè)直線MN的方程為：y=k（x-3），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x，y），
由

y=k(x-3) x2 4 + y2 3 =1

，得（4k²+3）x²-24k²x+36k²-12=0，
△=（24k²）²-48（4k²+3）（3k²-1）＞0，解得k2＜

3

5

．
x1+x2=

24k2

4k2+3

，
∵

OM

+

ON

=t

OP

，∴（x₁+x₂，y₁+y₂）=t（x，y），
x=

x1+x2

t

=

24k2

(4k2+3)t

，y=

y1+y2

t

=

1

t

k[(x1+x2)-6]=

-18k

(4k2+3)t

，
∵點(diǎn)P在橢圓上，∴

(24k2)2

4(4k2+32)t2

+

(-18k)2

3(4k2+3)2t2

=1，
∴|t|=

6 7 k2

4k2+3

=

6 7

4+ 3 k2

，（k≠0），
k=0時(shí)，t=0．
∵k2＜

3

5

，∴|t|＜

2 7

3

實(shí)數(shù)t取值范圍是-

3 7

2

＜t＜

3 7

2

．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的離心率的求法，考查圓的方程、橢圓方程的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運(yùn)用．