Question

已知函數(shù)g（x）=

1

4x+2

（x∈R）．
（1）求：g（x）+g（1-x）的值；
（2）求：g（

1

m

）+g（

2

m

）+g（

3

m

）+…+g（

m-1

m

）+g（

m

m

）的值．
（3）設(shè)函數(shù)f（x）=-g（-log₁₆x），a，b為常數(shù)且0＜a＜b，在下列四個(gè)不等關(guān)系中選出一個(gè)你認(rèn)為正確的關(guān)系式，并加以說明．
①f（a）＜f（

a+b

2

）＜f（ab）        
②f（a）＜f（b）＜f（

ab

）
③f（

ab

）＜f（

a+b

2

）＜f（a）      
④f（b）＜f（

a+b

2

）＜f（

ab

）．

Answer 1

考點(diǎn)：指數(shù)函數(shù)綜合題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）代入解析式求解即可；
（2）利用（1）的結(jié)論解答即可；
（3）把f（x）的解析式解出來判斷其單調(diào)性，然后判斷證明即可．

解答： 解：（1）g（x）+g（1-x）=

1

4x+2

+

1

41-x+2

=

1

4x+2

+

4x

2(2+4x)

=

2+4x

2(2+4x)

=

1

2

，
（2）g（

1

m

）+g（

2

m

）+g（

3

m

）+…+g（

m-1

m

）+g（

m

m

）=[g（

1

m

）+g（

m-1

m

）]+[g（

2

m

）+g（

m-2

m

）+…+g（

m

m

）
=

m-1

2

×

1

2

+

1

4+2

=

3m-1

12

；，
（3）因?yàn)楹瘮?shù)g（x）=

1

4x+2

（x∈R），函數(shù)f（x）=-g（-log₁₆x），
∴f(x)=-

x

2 x +1

(x＞0)為減函數(shù)，
又0＜a＜b，
∴b＞

a+b

2

＞

ab

，
故④確．

點(diǎn)評：本題主要考查指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)以及函數(shù)的綜合性質(zhì)，屬于中檔題．